高中数学平面解析几何的产生──数与形的结合解答题

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的一个焦点是 $F(1,0)$ ， $O$ 为坐标原点。
　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，若直线 $l$ 绕点 $F$ 任意转动，值有 $|OA{|}^2+|OB{|}^2<|AB{|}^2$ ，求 $a$ 的取值范围。

(本小题满分13分)
过圆上一点A(4，6)作圆的一条动弦AB，点P为弦AB的中点.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P关于点D(9，0)的对称点为E，O为坐标原点，将线段OP绕原点O依逆时针方向旋转90°后，所得线段为OF，求|EF|的取值范围.

(本小题满分13分)
已知动点P到直线的距离比它到点F的距离大.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P的轨迹上不存在两点关于直线l：对称，求实数的取值范围.

建立适当的坐标系，用坐标法解决下列问题：
已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2．7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

 

如图，已知 $△ABC$ 的两条角平分线 $AD$ 和 $CE$ 相交于 $H$ ， $\angle B=60°$ ， $F$ 在 $AC$ 上，且 $AE=AF$ .

（Ⅰ）证明： $B$ 、 $D$ 、 $H$ 、 $E$ 四点共圆；
（Ⅱ）证明： $CE$ 平分 $\angle DEF$ .

如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）设△ABD的面积为S_△ABD，△BCD的面积为S_△BCD，求的值．

 

选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线于点.
求证：（1）；
（2）

选修4-4 ：坐标系与参数方程
已知圆方程为.
（1）求圆心轨迹的参数方程；
（2）点是（1）中曲线上的动点，求的取值范围.

如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆

C过F的切线交于点P和点Q，则P、Q必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上.
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；
（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：
“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，
则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请
问：此命题是否正确？试证明你的判断；
（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并
证明其真假.（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为评分依据）

已知平面内两定点，动点满足条件：，设点的轨迹是曲线为坐标原点。
（I）求曲线的方程；
（II）若直线与曲线相交于两不同点，求的取值范围；
（III）（文科做）设两点分别在直线上，若，记 分别为两点的横坐标，求的最小值。
（理科做）设两点分别在直线上，若，求面积的最大值。

设抛物线的准线与轴交于点，焦点为；椭圆以 为焦点，离心率。
（I）当时，①求椭圆的标准方程；②若直线与抛物线交于两点，且线段 恰好被点平分，设直线与椭圆交于两点，求线段的长；
（II）（仅理科做）设抛物线与椭圆的一个交点为，是否存在实数，使得的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数的值；若不存在，请说明理由。

设圆为坐标原点
（I）若直线过点，且圆心到直线的距离等于1，求直线的方程；
（II）已知定点，若是圆上的一个动点，点满足，求动点的轨迹方程。

已知直线经过点。
（I）求的值；
（II）若直线过点且，求直线的方程。

如图，圆内有一点，过点作直线交圆于 两点.（1）当直线经过圆心时，求直线的方程；（2）当弦被点平分时，写出直线方程；（3）当直线倾斜角为时，求的面积.

求过点A（1，-1），B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.