高中数学平面解析几何的产生──数与形的结合试题

（本小题满分12分）
已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为
，是的中点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线（与轴不垂直）与轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．

（本小题满分12分）
已知点和直线，作垂足为Q，且
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点C的直线m与点P的轨迹交于两点点，若的面积为，求直线的方程.

过△的重心任作一直线分别交于,为中线
且,，，求的值

如图：在△ABC中，=, =,求，及的值

如图，已知是△的角平分线，∠，,求证

平面直角坐标系中，直线：，,，是上的两动点，且,求使得四边形周长最小时两点的坐标及此时的最小周长

过的直线分别交轴，轴正半轴于，求△周长和面积最小值

从等腰直角△上，按图示方式剪下两个正方形，其中，∠
求这两个正方形的面积之和的最小值

（本小题满分14分）
椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为。
（I）求椭圆的方程；
（II）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若
为直角三角形，求直线的斜率。

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的一个焦点是 $F(1,0)$ ， $O$ 为坐标原点。
　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，若直线 $l$ 绕点 $F$ 任意转动，值有 $|OA{|}^2+|OB{|}^2<|AB{|}^2$ ，求 $a$ 的取值范围。

若直线 $3x+4y+m=0$与圆 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos \theta \\ y=2+\sin \theta \end{array}\right.$( $\theta$为参数）没有公共点，则实数 $m$的取值范围是.

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的两个焦点为 $F_1,F_2$，若 $P$为其上一点，且 $\left|P{F}_1\right|=2\left|P{F}_2\right|$,则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A．

(1,3)

B．

(1,3]

C．

(3,+ $\infty$)

D．

$[3,+\infty )$

过抛物线 $x^2=2py\left(p>0\right)$的焦点 $F$作倾角为 ${30}^{°}$的直线，与抛物线分别交于 $A,B$两点（ $A$在 $y$轴左侧），则 $\frac{AF}{FB}=$。

已知 $m,n$是两条不同直线， $\alpha ,\beta ,\gamma$是三个不同平面，下列命题中正确的是（  ）

A．	若 $m//\alpha ,n//\alpha$,则 $m//n$	B．	若 $\alpha \perp \gamma ,\beta \perp \gamma$,则 $\alpha //\beta$
C．	若 $m//\alpha ,m//\beta$,则 $\alpha //\beta$	D．	若 $m\perp \alpha ,n\perp \alpha$,则 $m//n$

(本小题满分13分)
过圆上一点A(4，6)作圆的一条动弦AB，点P为弦AB的中点.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P关于点D(9，0)的对称点为E，O为坐标原点，将线段OP绕原点O依逆时针方向旋转90°后，所得线段为OF，求|EF|的取值范围.