高中数学随机思想的发展解答题

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望．

为了减少交通事故，某市在不同路段对机动车时速有不同的限制，在限速为70km？h的某一路段上，流动测速车对经过该路段的100辆机动车进行测速，下图是所测100辆机动车时速的频率分布直方图。
（1）估计这100辆机动车中，时速超过限定速度10%以上（包括10%）的机动车辆数；
（2）该市对机动车超速的处罚规定如下：时速超过限定速度10%（包括10%）以上不足20%的处100元罚款；超过限定速度20%（包括20%）以上不足50%的处200元罚款；……。设这一路段中任意一辆机动车被处罚金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望（以被测的100辆机动车时速落入各组的频率作为该路段中任意一辆机动车时速落入相应组的频率。）

在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤．用表示编号为的同学的体重，且前5位同学的体重如下：

编号n	1	2	3	4	5
体重xn	60	66	62	60	62

（1）求第6位同学的体重及这6位同学体重的标准差；
（2）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间中的概率．

学生的数学学习水平按成绩可分成8个等级，等级系数X依次为1，2， ，8，其中为标准A，为标准B.已知甲学校执行标准A考评学生，学生平均用于数学的学习时间为3.5小时/天；乙学校执行标准B考评学生，学生平均用于数学的学习时间为2.5小时/天.假定甲、乙两学校都符合相应的执行标准.
（1）已知甲学校学生的数学学习水平的等级系数X₁的概率分布列如下所示：

X1	5	6	7	8
P	0.4	a	b	0.1

且X₁的数学期望EX₁=6，求a、b的值；
（2）为分析乙学校学生的数学学习水平的等级系数X₂，从该校随机选取了30名学生，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3533855634
6347534853
8343447567
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X₂的数学期望；
（3）在（1）、（2）的条件下，哪个学校的数学学习效率更高？说明理由.
(注：)

为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2014年该市某中学的某新生想通过考核选拨进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通过考核选拨进入这两个社团成功与否相互独立．根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率．
（Ⅰ）求该同学分别通过选拨进入“电影社”的概率和进入“心理社”的概率；
（Ⅱ）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0．5个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列和数学期望．

甲向靶子A射击两次，乙向靶子射击一次.甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分.
（1）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；
（2）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望.

某单位为了提髙员工身体素质，特于近期举办了一场跳绳比赛，其中男员工12人，女员工18人，其成绩编成如右所示的茎叶图（单位：分）.若分数在175分以上（含175分）者定为“运动健将”，并给以特别奖励，其它人员则给予“运动积极分子”称号，同时又特别提议给女“运动健将”休假一天的待遇.
(1)若用分层抽样的方法从“运动健将”和“运动积极分子”中提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“运动健将”的概率是多少？
(2)若从所有“运动健将”中选3名代表，用表示所选代表中女“运动健将”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.

一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．
（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；
（2）求恰好得到n（n∈N^*）分的概率．

现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，（0<t<2），且三个人是否应聘成功是相互独立的.
（1）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；
（2）记应聘成功的人数为，若当且仅当为=2时概率最大，求E（）的取值范围.

（本小题满分12分）某中学号召本校学生在本学期参加市创办卫生城的相关活动，学校团委对该校学生是否关心创卫活动用简单抽样方法调查了位学生（关心与不关心的各一半），
结果用二维等高条形图表示，如图．

（1）完成列联表，并判断能否有℅的把握认为是否关心创卫活动与性别有关？

	0．10	0．05	0．01
	2．706	3．841	6．635

（参考数据与公式：
；

	女	男	合计
关心			500
不关心			500
合计		524	1000

 
（2）已知校团委有青年志愿者100名，他们已参加活动的情况记录如下：

参加活动次数	1	2	3
人数	10	50	40

 
（i）从志愿者中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
（ii）从志愿者中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量(件)	0	1	2	3
频数	1	5	9	5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)．设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品视为件数，求X的分布列和数学期望．

（本小题满分12分）近年来空气污染是一个生活中重要的话题， PM2．5就是其中一个指标。PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．

（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率；
（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到PM2．5监测数据超标的天数，求的分布列及期望．

某市公租房房屋位于A、B、C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中：
(1)若有2人申请A片区房屋的概率；
(2)申请的房屋在片区的个数的X分布列与期望．

某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．
（Ⅰ）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率；
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列及期望．

如图，A地到火车站共有两条路径L₁和L₂，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间(分钟)	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的频率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的频率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针地(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．