高中数学第二数学归纳法试题

设函数f(x)＝x－xlnx，数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n＋1＝f(a_n)．求证：
(1)函数f(x)在区间(0，1)是增函数；
(2)a_n＜a_n＋1＜1.

已知f(n)＝1＋n∈N^)，g(n)＝2(－1)(n∈N^)．
(1)当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．

已知数列{a_n}满足a₁＝1，且4a_n＋1－a_na_n＋1＋2a_n＝9(n∈N^)．
(1)求a₂，a₃，a₄的值；
(2)由(1)猜想{a_n}的通项公式，并给出证明．

设n∈N^*，f(n)＝1＋＋＋…＋，试比较f(n)与的大小．

已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、、 、恰为等比数列，且，，.
（1）求数列的通项公式（用表示）；
（2）设数列的前项和为, 求证：（是正整数

用数学归纳法证明对n∈N_＋都有.

平面内有n(n∈N_＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过
同一点，证明：交点的个数f(n)＝.

已知函数f(x)=x³-x,数列{a_n}满足条件:a₁≥1,a_n+1≥f'(a_n+1).试比较+++…+与1的大小,并说明理由.

用数学归纳法证明不等式:++…+>(n∈N^*且n>1).

用数学归纳法证明:++…+= (n∈N^*).

已知函数
（Ⅰ）若函数在其定义域上为单调函数,求的取值范围；
（Ⅱ）若函数的图像在处的切线的斜率为0，，已知求证：
（Ⅲ）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明理由.      

对于数集 $X=\left\{-1,x_1,x_{2,}\dots ,x_n\right\}$，其中 $0<x_x<x_2<\dots <x_n$， $n\ge 2$，定义向量集 $Y=\left\{\overline{)\underset{a}{\to }}\underset{a}{\to }=\left(s,t,s\in X,t\in X\right)\right\}$. 若对于任意 $\underset{a_1}{\to }\in Y$，存在 $\underset{a_2}{\to }\in Y$，使得 $\underset{a_1}{\to }.\underset{a_2}{\to }=0$，则称X具有性质 $P$.例如 $X=\left\{-1,1,2\right\}$具有性质 $P$.
（1）若 $x>2$，且 $\left\{-1,1,2,x\right\}$，求 $x$的值；
（2）若 $X$具有性质 $P$，求证： $1\in X$,且当 $x_n>1$时， $x_1=1$；
（3）若 $X$具有性质 $P$，且 $x_1=1,x_2=q$（ $q$为常数），求有穷数列 $x_1,x_2,\dots ,x_n$的通项公式.

已知函数，当时，函数取得极大值.
（１）求实数的值；
（２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；
（３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.

用数学归纳法证明：
．

（本小题满分14分）
已知函数f(x)=x－ax + (a－1)，．
（I）讨论函数的单调性；
（II）若，数列满足．
（1）  若首项，证明数列为递增数列；
（2）  若首项为正整数，数列递增，求首项的最小值．