高中数学解答题

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C_1$的方程为 $y=k\left|x\right|+2$.以坐标原点为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 ${\rho }^2+2\rho \mathit{cos}\theta -3=0$.

（1）求 $C_2$的直角坐标方程；

（2）若 $C_1$与 $C_2$有且仅有三个公共点，求 $C_1$的方程.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}-x+a\mathit{ln}x$．

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$存在两个极值点 $x_1,x_2$，证明： $\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}<a-2$．

某工厂的某种产品成箱包装，每箱 $200$件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 $20$件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $p(0<p<1)$，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记 $20$件产品中恰有 $2$件不合格品的概率为 $f\left(p\right)$,求 $f\left(p\right)$的最大值点 $p_0$；

（2）现对一箱产品检验了 $20$件，结果恰有 $2$件不合格品，以（1）中确定的 $p_0$作为 $p$的值．已知每件产品的检验费用为 $2$元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 $25$元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$，求 $\mathit{EX}$;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

设椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$的右焦点为 $F$，过 $F$的直线 $l$与 $C$交于 $A,B$两点，点 $M$的坐标为 $(2,0)$.

（1）当 $l$与 $x$轴垂直时，求直线 $\mathit{AM}$的方程；

（2）设 $O$为坐标原点，证明： $\angle \mathit{OMA}=\angle \mathit{OMB}$.

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为正方形， $E,F$ 分别为 $\mathit{AD},\mathit{BC}$ 的中点，以 $\mathit{DF}$ 为折痕把 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $\mathit{PF}\perp \mathit{BF}$ .

（1）证明：平面 $\mathit{PEF}\perp$ 平面 $\mathit{ABFD}$ ；

（2）求 $\mathit{DP}$ 与平面 $\mathit{ABFD}$ 所成角的正弦值.

在平面四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ADC}=90^{\circ }$， $\angle A=45^{\circ }$， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BD}=5$.

（1）求 $\mathit{cos}\angle \mathit{ADB}$；

（2）若 $\mathit{DC}=2\sqrt{2}$，求 $\mathit{BC}$.

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2\mathit{cos\theta }\\ y=4\mathit{sin\theta }\end{array}\right.$（ $\theta$为参数），直线 $l$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=1+\mathit{tcos\alpha }\\ y=2+\mathit{tsin\alpha }\end{array}\right.$（ $t$为参数）.

（1）求 $C$和 $l$的直角坐标方程；

（2）若曲线 $C$截直线 $l$所得线段的中点坐标为 $\left(1,2\right)$，求 $l$的斜率．

已知函数 $f\left(x\right)=e^x-a{x}^2$．

（1）若 $a=1$，证明：当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)\ge 1$；

（2）若 $f\left(x\right)$在只有一个零点，求 $a$的值.

如图，在三棱锥 $P-\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2\sqrt{2}$ ， $\mathit{PA}=\mathit{PB}=\mathit{PC}=\mathit{AC}=4$ ， $O$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点．

（1）证明： $\mathit{PO}\perp$ 平面 $\mathit{ABC}$ ；

（2）若点 $M$ 在棱 $\mathit{BC}$ 上，且二面角 $M-\mathit{PA}-C$ 为 $30°$ ，求 $\mathit{PC}$ 与平面 $\mathit{PAM}$ 所成角的正弦值．

设抛物线 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{y}^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $\left|\mathit{AB}\right|\hspace{0.33em}=8$ ．

（1）求 $l$ 的方程；

（2）求过点 $A$ ， $B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程．

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ （单位：亿元）的折线图．

   为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\alpha +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2},即\alpha =\frac{\pi }{6}$ ）建立模型①： $\stackrel{̂}{y}=-30.4+13.5t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\left\{\begin{array}{c}x\ge 2\\ x-2+2x-2>2\end{array}\right.$ ）建立模型②： $\stackrel{̂}{y}=99+17.5t$ ．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 ， ．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

（2）求 $S_n$ ，并求 $S_n$ 的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\mathit{cos}\theta ，\\ y=\mathit{sin}\theta \end{array}\right.$（ $\theta$为参数），过点 $\left(0\hspace{0.33em}，-\sqrt{2}\right)$且倾斜角为 $\alpha$的直线 $l$与 $\odot O$交于 $A\hspace{0.33em}，\hspace{0.33em}B$两点．

（1）求 $\alpha$的取值范围；

（2）求 $\mathit{AB}$中点 $P$的轨迹的参数方程．

如图，边长为2的正方形 $\mathit{ABCD}$ 所在的平面与半圆弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 所在平面垂直， $M$ 是 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 上异于 $C$ ， $D$ 的点．

（1）证明：平面 $\mathit{AMD}\perp$ 平面 $\mathit{BMC}$ ；

（2）当三棱锥 $M-\mathit{ABC}$ 体积最大时，求面 $\mathit{MAB}$ 与面 $\mathit{MCD}$ 所成二面角的正弦值．

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$，并将完成生产任务所需时间超过 $m$和不超过 $m$的工人数填入下面的列联表：

	超过 $m$	不超过 $m$
第一种生产方式
第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： $K^2=\frac{n{\left(\mathit{ad}-\mathit{bc}\right)}^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}$，