高中数学解答题

如图，直四棱柱 ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面是菱形， AA ₁=4， AB=2，∠ BAD=60°， E， M， N分别是 BC， BB ₁， A ₁ D的中点.

（1）证明： MN∥平面 C ₁ DE；

（2）求点 C到平面 C ₁ DE的距离．

记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S₉=－a₅．

（1）若a₃=4，求{a_n}的通项公式；

（2）若a₁>0，求使得S_n≥a_n的n的取值范围．

在极坐标系中，O为极点，点 $M({\rho }_0,{\theta }_0)({\rho }_0>0)$在曲线 $C:\rho =4\mathit{sin}\theta$上，直线l过点 $A(4,0)$且与 $\mathit{OM}$垂直，垂足为P.

（1）当 ${\theta }_0=\frac{\pi }{3}$时，求 ${\rho }_0$及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

已知函数 $f\left(x\right)=(x-1)\mathit{ln}x-x-1$ .证明：

（1） $f\left(x\right)$ 存在唯一的极值点；

（2） $f\left(x\right)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

（1）若 $△\mathit{PO}{F}_2$ 为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得 $P{F}_1\perp P{F}_2$ ，且 $△F_{1}P{F}_2$ 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y的频数分布表.

$y$ 的分组	$[-\text{0.20,0})$	$\left[\text{0,0.20}\right)$	$\left[\text{0.20,0.40}\right)$	$\left[\text{0.40,0.60}\right)$	$\left[\text{0.60,0.80}\right)$
企业数	2	24	53	14	7

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）

附： $\sqrt{74}\approx 8.602$ .

已知 $\left\{a_n\right\}$是各项均为正数的等比数列， $a_1=2,a_3=2a_2+16$.

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）设，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前n项和.

如图，长方体 ABCD- A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面 ABCD是正方形，点 E在棱 AA ₁上， BE⊥ EC ₁.

（1）证明： BE⊥平面 EB ₁ C ₁；

（2）若 AE= A ₁ E， AB=3，求四棱锥 $E-B{B}_1{C}_{1}C$ 的体积．

如图，在极坐标系 $\mathit{Ox}$ 中， $A(2,0)$ ， $B(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$ ， $C(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4})$ ， $D(2,\pi )$ ，弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$ ， $\stackrel{⏜}{\mathit{BC}}$ ， $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ 所在圆的圆心分别是 $(1,0)$ ， $(1,\frac{\pi }{2})$ ， $(1,\pi )$ ，曲线 $M_1$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$ ，曲线 $M_2$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{BC}}$ ，曲线 $M_3$ 是弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{CD}}$ .

（1）分别写出 $M_1$ ， $M_2$ ， $M_3$ 的极坐标方程；

（2）曲线 $M$ 由 $M_1$ ， $M_2$ ， $M_3$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上，且 $\left|\mathit{OP}\right|=\sqrt{3}$ ，求 $P$ 的极坐标.

已知曲线C：y= $\frac{x^2}{2}$，D为直线y= $-\frac{1}{2}$上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0， $\frac{5}{2}$)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

已知函数 $f\left(x\right)=2x^3-a{x}^2+2$.

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）当 $0<a<3$时，记 $f\left(x\right)$在区间 $\left[0,1\right]$的最大值为 $M$，最小值为 $m$，求的取值范围.

图1是由矩形 $\mathit{ADEB},\mathit{Rt\Delta ABC}$ 和菱形 $\mathit{BFGC}$ 组成的一个平面图形，其中 $\mathit{AB}=1,\mathit{BE}=\mathit{BF}=2$ ， $\angle \mathit{FBC}=60^{\circ }$ ，将其沿 $\mathit{AB},\mathit{BC}$ 折起使得 $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{BF}$ 重合，连结 $\mathit{DG}$ ，如图2.

（1）证明图2中的 $A,C,G,D$ 四点共面，且平面 $\mathit{ABC}\perp$ 平面 $\mathit{BCGE}$ ；

（2）求图2中的四边形 $\mathit{ACGD}$ 的面积.

$\mathit{\Delta ABC}$的内角的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\mathit{sin}\frac{A+C}{2}=b\mathit{sin}A$．

（1）求 $B$；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形，且 $c=1$，求 $\mathit{\Delta ABC}$面积的取值范围．

如图,已知抛物线 $x^2=y$ , 点 $A\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right),B\left(\frac{3}{2},\frac{9}{4}\right)$ , 抛物线上的点 $P(x,y)$

$\left(-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\right).$ 过点 $B$ 作直线 $\mathit{AP}$ 的垂线，垂足为 $Q$ .

( I ) 求直线 $\mathit{AP}$ 斜率的取值范围；

( II ) 求 $\left|\mathit{PA}\right|\cdot \left|\mathit{PQ}\right|$ 的最大值。

已知函数 $f\left(x\right)=(x-\sqrt{2x-1}){\mathrm{e}}^{-x}\left(x⩾\frac{1}{2}\right)$.

( I ) 求 $f\left(x\right)$ 的导函数;

( II ) 求 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2},+\mathrm{\infty }\right)$ 上的取值范围.