高中数学解答题

如图,已知四棱锥 $P-\mathit{ABCD},△\mathit{PAD}$ 是以 $\mathit{AD}$ 为斜边的等腰直角三角形, $\mathit{BC}//\mathit{AD}$ , $\mathit{CD}\perp \mathit{AD},\mathit{PC}=\mathit{AD}=2DC=2\mathit{CB},E$ 为 $\mathit{PD}$ 的中点.

（I ) 证明: $\mathit{CE}//$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

( II )求直线 $\mathit{CE}$ 与平面 $\mathit{PBC}$ 所成角的正弦值.

已知函数 $f\left(x\right)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x(x\in \mathbf{R})$.

( I ) 求 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ 的值;

( II )求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期及单调递增区间；

已知椭圆 $\mathrm{C}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\mathrm{}(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2},A(a,0),B(0,b),O(0,0),\mathrm{\Delta }\mathit{OAB}$ 的面积为 1 .

(1) 求椭圆 C 的方程;

(2) 设 $P$ 的椭圆 $C$ 上一点, 直线 $\mathit{PA}$ 与 $y$ 轴交于点 $\mathrm{M}$ , 直线 $\mathrm{PB}$ 与 $x$ 轴交于点 $\mathrm{N}$ .

求证: $\left|\mathit{AN}\right|\cdot \left|\mathit{BM}\right|$ 为定值.

设函数 $f\left(x\right)=x{e}^{a-x}+\mathit{bx}$ , 曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $(2,f(2\left)\right)$ 处的切线方程为 $y=（e-1）x+4$ ,

（1）求 $a，b$ 的值；

（2）求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

如图, 在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中, 平面 $\mathit{PAD}\perp$ 平面 $\mathit{ABCD},\mathit{PA}\perp \mathit{PD},\mathit{PA}=\mathit{PD},\mathit{AB}\perp \mathit{AD}$ , $\mathit{AB}=1,\mathrm{}\mathit{AD}=2,\mathit{AC}=\mathit{CD}=\sqrt{5}$ .

(1) 求证: $\mathit{PD}\perp$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

(2) 求直线 $\mathit{PB}$ 与平面 $\mathit{PCD}$ 所成角的正弦值;

(3) 在棱 $\mathit{PA}$ 上是否存在点 $M$ , 使得 $\mathit{BM}//$ 平面 $\mathit{PCD}$ ? 若存在, 求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{AP}}$ 的值; 若不存在, 说明理由.

A、B、C三个班共有 100 名学生, 为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生 一周的锻炼时间, 数据如下表（单位：小时);

A 班	$66.5$	7	$7.58$
B 班	6	7	8	9	10	11	12
C 班	3	$4.5$	6	$7.5$	9	$10.5$	12	$13.5$

（1）试估计 C 班的学生人数;

(2) 从 A 班和 $C$ 班抽出的学生中, 各随机选取一人， $\mathrm{A}$ 班选出的人记为甲, $\mathrm{C}$ 班选出的人记 为乙, 假设所有学生的锻炼时间相对独立, 求该周甲的锻炼时间比乙的钗炼时间长的概率;

(3) 再从 A、B、C三个班中各随机抽取一名学生, 他们该周的锻炼时间分别是 7, 9, 8.25 (单位：小时), 这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ${\mu }_1$ , 表格中数据的平均数记为 ${\mu }_0$ , 试判断 ${\mu }_0$ 和 ${\mu }_1$ 的大小, (结论不要求证明）

在 $\mathrm{\Delta }\mathrm{ABC}$ 中, $a^2+c^2=b^2+\sqrt{2}\mathit{ac}$ .

(1) 求 $\angle B$ 的大小;

(2) 求 $\sqrt{2}\cos A+\cos C$ 的最大值.

在极坐标系中，O为极点，点 $M({\rho }_0,{\theta }_0)({\rho }_0>0)$在曲线 $C:\rho =4\mathit{sin}\theta$上，直线l过点 $A(4,0)$且与 $\mathit{OM}$垂直，垂足为P.

（1）当 ${\theta }_0=\frac{\pi }{3}$时，求 ${\rho }_0$及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

已知点 A(−2,0)， B(2,0)，动点 M( x, y)满足直线 AM与 BM的斜率之积为− $\frac{1}{2}$ .记 M的轨迹为曲线 C.

（1）求 C的方程，并说明 C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交 C于 P， Q两点，点 P在第一象限， PE⊥ x轴，垂足为 E，连结 QE并延长交 C于点 G.

（i）证明： $△\mathit{PQG}$ 是直角三角形；

（ii）求 $△\mathit{PQG}$ 面积的最大值.

已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{ln}x-\frac{x+1}{x-1}$.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x₀是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x₀，ln x₀)处的切线也是曲线 $y=e^x$的切线.

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₁=0， $4a_{n+1}=3a_n-b_n+4$ ， $4b_{n+1}=3b_n-a_n-4$.

（1）证明：{a_n+b_n}是等比数列，{a_n–b_n}是等差数列；

（2）求{a_n}和{b_n}的通项公式.

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.

如图，长方体 ABCD- A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面 ABCD是正方形，点 E在棱 AA ₁上， BE⊥ EC ₁.

（1）证明： BE⊥平面 EB ₁ C ₁；

（2）若 AE= A ₁ E，求二面角 B- EC- C ₁的正弦值.

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{1-t^2}{1+t^2}，\\ y=\frac{4t}{1+t^2}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2\rho \mathit{cos}\theta +\sqrt{3}\rho \mathit{sin}\theta +11=0$．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 $-1$分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 $-1$分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求 $X$的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， $p_i(i=0,1,\cdots ,8)$表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0$， $p_8=1$， $p_i=a{p}_{i-1}+b{p}_i+c{p}_{i+1}(i=1,2,\cdots ,7)$，其中 $a=P(X=-1)$， $b=P(X=0)$， $c=P(X=1)$．假设 $\alpha =0.5$， $\beta =0.8$．

(i)证明： $\{p_{i+1}-p_i\}(i=0,1,2,\cdots ,7)$为等比数列；

(ii)求 $p_4$，并根据 $p_4$的值解释这种试验方案的合理性．