高中数学解答题

已知函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}x-\mathit{ln}(1+x)$， $f^{\text{'}}\left(x\right)$为 $f\left(x\right)$的导数．证明：

（1） $f^{\text{'}}\left(x\right)$在区间 $(-1,\frac{\pi }{2})$存在唯一极大值点；

（2） $f\left(x\right)$有且仅有2个零点．

已知抛物线C：y²=3x的焦点为F，斜率为 $\frac{3}{2}$的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若 $\stackrel{⃑}{\mathit{AP}}=3\stackrel{⃑}{\mathit{PB}}$，求|AB|．

如图，直四棱柱 ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁的底面是菱形， AA ₁=4， AB=2，∠ BAD=60°， E， M， N分别是 BC ， BB ₁， A ₁ D的中点．

（1）证明： MN∥平面 C ₁ DE；

（2）求二面角 A-MA ₁ -N的正弦值．

$△\mathit{ABC}$的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 $(\mathit{sin}B-\mathit{sin}C{)}^2=\mathit{sin}{}^{2}A-\mathit{sin}B\mathit{sin}C$．

（1）求A；

（2）若 $\sqrt{2}a+b=2c$，求sinC．

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2-t-t^2\\ y=2-3t+t^2\end{array}\right.$（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

（1）求 $\left|\mathit{AB}\right|$；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{m^2}=1(0<m<5)$的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$， $A$， $B$分别为 $C$的左、右顶点．

（1）求 $C$的方程；

（2）若点 $P$在 $C$上，点 $Q$在直线 $x=6$上，且 $\left|\mathit{BP}\right|=\left|\mathit{BQ}\right|$， $\mathit{BP}\perp \mathit{BQ}$，求 $△\mathit{APQ}$的面积．

如图，在长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，点 $E,F$ 分别在棱 $D{D}_1,B{B}_1$ 上，且 $2\mathit{DE}=E{D}_1$ ， $\mathit{BF}=2F{B}_1$ ．

（1）证明：点 $C_1$ 在平面 $\mathit{AEF}$ 内；

（2）若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{AD}=1$ ， ，求二面角 $A-\mathit{EF}-A_1$ 的正弦值．

设数列{a_n}满足a₁=3， ${a_n}_{+1}=3a_n-4n$．

（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

已知椭圆C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

如图，四棱锥 P- ABCD的底面为正方形， PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD与平面 PBC的交线为 l．

（1）证明： l⊥平面 PDC；

（2）已知 PD= AD=1， Q为 l上的点，求 PB与平面 QCD所成角的正弦值的最大值．

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 $100$ 天空气中的 $\mathit{PM}2.5$ 和 $\text{S}{\text{O}}_2$ 浓度（单位： $\mu \text{g/}{\text{m}}^3$ ），得下表：

$\text{S}{\text{O}}_2$ $\mathit{PM}2.5$	$[0,50]$	$(50,150]$	$(150,475]$
$[0,35]$	32	18	4
$(35,75]$	6	8	12
$(75,115]$	3	7	10

（1）估计事件"该市一天空气中 $\mathit{PM}2.5$ 浓度不超过 $75$ ，且 $\text{S}{\text{O}}_2$ 浓度不超过 $150$ "的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的 $2\times 2$ 列联表：

$\text{S}{\text{O}}_2$ $\mathit{PM}2.5$	$[0,150]$	$(150,475]$
$[0,75]$
$(75,115]$

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 $99\%$ 的把握认为该市一天空气中 $\mathit{PM}2.5$ 浓度与 $\text{S}{\text{O}}_2$ 浓度有关？

附： $K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

$P(K^2\ge k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

已知公比大于 $1$的等比数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_2+a_4=20,a_3=8$．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）求 $a_1{a}_2-a_2{a}_3+\dots +(-1{)}^{n-1}{a}_n{a}_{n+1}$.

在① $\mathit{ac}=\sqrt{3}$，② $c\mathit{sin}A=3$，③ $c=\sqrt{3}b$这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在 $△\mathit{ABC}$，它的内角的对边分别为 $a,b,c$，且 $\mathit{sin}A=\sqrt{3}\mathit{sin}B$， $C=\frac{\pi }{6}$，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知函数 $f\left(x\right)=a{e}^{x-1}-\mathit{ln}x+\mathit{ln}a$．

（1）当 $a=e$时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

如图，四棱锥 P- ABCD的底面为正方形， PD⊥底面 ABCD．设平面 PAD与平面 PBC的交线为 l．

（1）证明： l⊥平面 PDC；

（2）已知 PD= AD=1， Q为 l上的点，求 PB与平面 QCD所成角的正弦值的最大值．