高中数学解答题

在 $△\mathit{ABC}$中， $a+b=11$，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ） $\mathit{sin}C$和 $△\mathit{ABC}$的面积．

条件①： $c=7,\mathit{cos}A=-\frac{1}{7}$；

条件②： $\mathit{cos}A=\frac{1}{8},\mathit{cos}B=\frac{9}{16}$．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C_1$的参数方程为 $(t$为参数 $)$．以坐标原点为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 $4\rho \mathit{cos}\theta -16\rho \mathit{sin}\theta +3=0$．

（1）当 $k=1$时， $C_1$是什么曲线？

（2）当 $k=4$时，求 $C_1$与 $C_2$的公共点的直角坐标．

已知函数 $f\left(x\right)=e^x-a(x+2)$.

（1）当 $a=1$时，讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$有两个零点，求 $a$的取值范围.

如图， $D$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $△\mathit{ABC}$ 是底面的内接正三角形， $P$ 为 $\mathit{DO}$ 上一点，∠ APC=90°．

（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAC；

（2）设 DO= $\sqrt{2}$ ，圆锥的侧面积为 $\sqrt{3}\pi$ ，求三棱锥 P− ABC的体积.

已知函数f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；

（2）设a>0时，讨论函数g（x）= $\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$的单调性．

如图，已知三棱柱 ABC- A ₁ B ₁ C ₁的底面是正三角形，侧面 BB ₁ C ₁ C是矩形， M， N分别为 BC， B ₁ C ₁的中点， P为 AM上一点．过 B ₁ C ₁和 P的平面交 AB于 E，交 AC于 F．

（1）证明： AA ₁// MN，且平面 A ₁ AMN⊥平面 EB ₁ C ₁ F；

（2）设 O为△ A ₁ B ₁ C ₁的中心，若 AO= AB=6， AO//平面 EB ₁ C ₁ F，且∠ MPN= $\frac{\pi }{3}$ ，求四棱锥 B- EB ₁ C ₁ F的体积．

已知椭圆C₁： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a>b>0)的右焦点F与抛物线C₂的焦点重合，C₁的中心与C₂的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C₁于A，B两点，交C₂于C，D两点，且|CD|= $\frac{4}{3}$|AB|．

（1）求C₁的离心率；

（2）若C₁的四个顶点到C₂的准线距离之和为12，求C₁与C₂的标准方程．

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{m^2}=1(0<m<5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ， $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点．

（1）求 $C$ 的方程；

（2）若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $\left|\mathit{BP}\right|=\left|\mathit{BQ}\right|$ ， $\mathit{BP}\perp \mathit{BQ}$ ，求 $△\mathit{APQ}$ 的面积．

已知函数 $f\left(x\right)=x^3-\mathit{kx}+k^2$ ．

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．

如图，在长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $D{D}_1$ ， 上，且 $2\mathit{DE}=E{D}_1$ ， $\mathit{BF}=2F{B}_1$ ．证明：

（1）当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ 时， $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$ ；

（2）点 $C_1$ 在平面 $\mathit{AEF}$ 内．

桶圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1,F_1,F_2$ 分别为左右焦点, 过点 $P\left(m,0\right)(m<-\sqrt{2})$ 的直线交椭圆于点 $A,B$ 且点 $A,B$ 在 $x$ 轴的上方, $A$ 在 $P,B$ 的中间.

(1) 若 $B$ 是上顶点, $\left|\overrightarrow{B{F}_1}\right|=\left|\overrightarrow{P{F}_1}\right|$, 求 $m$.

(2) 若 $\overrightarrow{F_{1}A}\cdot \overrightarrow{F_{2}A}=\frac{1}{3}$, 且 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{15}}{15}$, 求直线 $l$ 的方程.

(3) 求证：对任意的 $m<-\sqrt{2}$, 使得 $F_{1}A\parallel B{F}_2$ 的直线有且仅有一条.

已知某企业 2021 年第一季度的营业额为 $1.1$ 亿元, 以后每个季度的营业额比上个季度增加 $0.05$ 亿元, 该 企业第一季度的利润为 $0.16$ 亿，以后每季度比前一季度增长 $4\%$.

(1) 求2021年起前20季度营业额的总和；

(2) 请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 $18\%$?

已知在 $△\mathit{ABC}$ 中, $A,B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$, 且 $a=3,b=2c$.

(1) 若 $A=\frac{2\pi }{3}$, 求 $△\mathit{ABC}$ 的面积. (2) 若 $2\text{sin}B-\text{sin}C=1$, 求 $△\mathit{ABC}$ 的周长.

如图, 在长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中, 已知 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2,A{A}_1=3$.

(1) 若点 $P$ 是棱 $A_1{D}_1$ 上的动点, 求三棱锥 $C-\mathit{PAD}$ 的体积.

(2) 求直线 $A{B}_1$ 与平面 $\mathit{AC}{C}_1{A}_1$ 的夹角大小.

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过点 $A\left(0,-2\right)$ , 以四个顶点围成的四边形面积为 $4\sqrt{5}$ .

(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程.

(2) 过点 $P\left(0,-3\right)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$ , 交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B,C$ , 直线 $\mathit{AB},\mathit{AC}$ 交 $y=-3$ 于点 $M,N$ , 若 $\left|\mathit{PM}\right|+\left|\mathit{PN}\right|⩽15$ , 求 $k$ 的取值范围.