高中数学解答题

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{3-2x}{x^2+a}$.

(1) 若 $a=0$, 求 $y=f\left(x\right)$ 在 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线方程.

(2) 若函数 $f\left(x\right)$ 在 $x=-1$ 处取得极值, 求 $f\left(x\right)$ 的单调区间, 以及最大值和最小值.

为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“ $k$ 合 1 检测法", 即将 $k$ 个人的拭自样本合并检测, 若为阴性, 则可确定有样本都是阴性的; 若为阳性, 则还需要对本组的每个人再做检测. 现有 100 人, 已知其中 2 人 感染病毒.

(1) ①若采用“ 10 合 1 检测法”, 且两名感染患者在同一组, 求总检测次数.

② 已知 10 人分成一组, 分 10 组, 两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$, 定义随机变量 $X$ 为总检测次数, 求检测次数 $X$ 的分布列和数学期望 $E\left(X\right)$.

(2) 若采用“ 5 合 1 检测法”, 检测次数 $Y$ 的期望为 $E\left(Y\right)$, 试比较 $E\left(X\right)$ 与 $E\left(Y\right)$ 的大小（直接写出结果).

已知正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, 点 $E$ 为 $A_1{D}_1$ 中点, 直线 $B_1{C}_1$ 交平面 $\mathit{CDE}$ 于点 $F$.

(1) 求证：点 $F$ 为 $B_1{C}_1$ 中点.

(2) 若点 $M$ 为棱 $A_1{B}_1$ 上一点, 且二面角 $M-\mathit{CF}-E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, 求 $\frac{\left|A_{1}M\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}$.

已知在 $△\mathit{ABC}$ 中, $c=2b\text{cos}B,C=\frac{2\pi }{3}$.

(1) 求 $B$ 的大小.

(2) 在三个条件中选择一个作为已知, 使 $△\mathit{ABC}$ 存在且唯一确定, 并求 $\mathit{BC}$ 边上中线的长度.

（3）① $c=\sqrt{2}b$; ② $△\mathit{ABC}$ 的周长为 $4+2\sqrt{3}$; ③ $△\mathit{ABC}$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

已知 $f\left(x\right)=\left|\text{lg}x\right|-\mathit{kx}-2$, 给出下列四个结论:

(1) 若 $k=0$, 则 $f\left(x\right)$ 有两个零点;

(2) 存在 $k<0$, 使得 $f\left(x\right)$ 有一个零点;

(3) 存在 $k<0$, 使得 $f\left(x\right)$ 有三个零点;

(4) 存在 $k>0$, 使得 $f\left(x\right)$ 有三个零点.

以上正确结论的序号是。

如图，已知F是抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点， $M$ 是抛物线的准线与x轴的交点，且 $\left|MF\right|=2$ ，

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 $\mathit{MA},$ $MB,$ $AB$ ， $x$ 轴依次交于点P，Q，R，N，且 ${\left|RN\right|}^2=\left|PN\right|·\left|QN\right|$ ，求直线 $L$ 在 $x$ 轴上截距的范围。

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前n项和为 $S_n$， $a_1=-\frac{9}{4}$，且 $4S_{n+1}=3S_n-9$.

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项；

（2）设数列 $\left\{b_n\right\}$满足 $3b_n+(n-4)a_n=0$，记 $\left\{b_n\right\}$的前n项和为 $T_n$，若 $T_n\le \lambda b_n$对任意 $n\in N^{*}$恒成立，求 $\lambda$的范围.

如图，在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$中，底面 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\angle \mathit{ABC}=120°,\mathit{AB}=1,\mathit{BC}=4,\mathit{PA}=\sqrt{15}$，M，N分别为 $\mathit{BC},\mathit{PC}$的中点， $\mathit{PD}\perp \mathit{DC},\mathit{PM}\perp \mathit{MD}$.

（1）证明： $\mathit{AB}\perp \mathit{PM}$；

（2）求直线 $\mathit{AN}$与平面 $\mathit{PDM}$所成角的正弦值.

设函数 $f\left(x\right)=\mathit{sin}x+\mathit{cos}x(x\in R)$.

（1）求函数 $y={\left[f\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right]}^2$的最小正周期；

（2）求函数 $y=f\left(x\right)f\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$上的最大值.

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， $P(X=i)=p_i(i=0,1,2,3)$．

（1）已知 $p_0=0.4,p_1=0.3,p_2=0.2,p_3=0.1$，求 $E\left(X\right)$；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： $p_0+p_{1}x+p_2{x}^2+p_3{x}^3=x$的一个最小正实根，求证：当 $E\left(X\right)\le 1$时， $p=1$，当 $E\left(X\right)>1$时， $p<1$；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

已知椭圆C的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右焦点为 $F(\sqrt{2},0)$，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 $\mathit{MN}$与曲线 $x^2+y^2=b^2(x>0)$相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 $\left|\mathit{MN}\right|=\sqrt{3}$．

在四棱锥中，底面 $\mathit{ABCD}$是正方形，若 $\mathit{AD}=2,\mathit{QD}=\mathit{QA}=\sqrt{5},\mathit{QC}=3$．

（1）证明：平面 $\mathit{QAD}\perp$平面 $\mathit{ABCD}$；

（2）求二面角 $B-\mathit{QD}-A$的平面角的余弦值．

在 $△\mathit{ABC}$中，角 $A$、 $B$、 $C$所对的边长分别为 $a$、 $b$、 $c$， $b=a+1$， $c=a+2$.．

（1）若 $2\mathit{sin}C=3\mathit{sin}A$，求 $△\mathit{ABC}$的面积；

（2）是否存在正整数 $a$，使得 $△\mathit{ABC}$为钝角三角形?若存在，求出 $a$的值；若不存在，说明理由．

记 $S_n$是公差不为0的等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前n项和，若 $a_3=S_5,a_2{a}_4=S_4$．

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式 $a_n$；

（2）求使 $S_n>a_n$成立的n的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $F_1\left(-\sqrt{17},0\right)$、 $F_2\left(\sqrt{17},0\right)\left|M{F}_1\right|-\left|M{F}_2\right|=2$，点 $M$的轨迹为 $C$.

（1）求 $C$的方程；

（2）设点 $T$在直线 $x=\frac{1}{2}$上，过 $T$的两条直线分别交 $C$于 $A$、 $B$两点和 $P$， $Q$两点，且 $\left|\mathit{TA}\right|\cdot \left|\mathit{TB}\right|=\left|\mathit{TP}\right|\cdot \left|\mathit{TQ}\right|$，求直线 $\mathit{AB}$的斜率与直线 $\mathit{PQ}$的斜率之和.