高中数学解答题

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$和 $\bar{y}$，样本方差分别记为 $S_1^2$和 $S_2^2$．

（1）求 $\bar{x}$， $\bar{y}$， $S_1^2$， $S_2^2$；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x}\ge 2\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{10}}$，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\rho =2\sqrt{2}\mathit{cos}\theta$．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为 $\left(1,0\right)$，M为C上的动点，点P满足 $\overrightarrow{\mathit{AP}}=\sqrt{2}\overrightarrow{\mathit{AM}}$，写出Р的轨迹 $C_1$的参数方程，并判断C与 $C_1$是否有公共点．

抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： $x=1$交C于P，Q两点，且 $\mathit{OP}\perp \mathit{OQ}$．已知点 $M\left(2,0\right)$，且 $\odot M$与l相切．

（1）求C， $\odot M$的方程；

（2）设 $A_1,A_2,A_3$是C上的三个点，直线 $A_1{A}_2$， $A_1{A}_3$均与 $\odot M$相切．判断直线 $A_2{A}_3$与 $\odot M$的位置关系，并说明理由．

设函数 $f\left(x\right)=a^2{x}^2+\mathit{ax}-3\mathit{ln}x+1$，其中 $a>0$.

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）若的图像与 $x$轴没有公共点，求a的取值范围.

已知直三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$中，侧面为正方形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2$，E，F分别为 $\mathit{AC}$和 $C{C}_1$的中点， $\mathit{BF}\perp A_1{B}_1$.

（1）求三棱锥 $F-\mathit{EBC}$的体积；

（2）已知D为棱 $A_1{B}_1$上的点，证明： $\mathit{BF}\perp \mathit{DE}$.

记 $S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$的前n项和，已知 $a_n>0,a_2=3a_1$，且数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$是等差数列，证明： $\left\{a_n\right\}$是等差数列.

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P\left(K^2\ge k\right)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\rho =2\sqrt{2}\mathit{cos}\theta$．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为 $\left(1,0\right)$，M为C上的动点，点P满足 $\overrightarrow{\mathit{AP}}=\sqrt{2}\overrightarrow{\mathit{AM}}$，写出Р的轨迹 $C_1$的参数方程，并判断C与 $C_1$是否有公共点．

已知 $a>0$ 且 $a\ne 1$ ，函数 $f\left(x\right)=\frac{x^a}{a^x}(x>0)$ ．

（1）当 $a=2$ 时，求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

（2）若曲线 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点，求 a的取值范围．

抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： $x=1$交C于P，Q两点，且 $\mathit{OP}\perp \mathit{OQ}$．已知点 $M\left(2,0\right)$，且 $\odot M$与l相切．

（1）求C， $\odot M$的方程；

（2）设 $A_1,A_2,A_3$是C上的三个点，直线 $A_1{A}_2$， $A_1{A}_3$均与 $\odot M$相切．判断直线 $A_2{A}_3$与 $\odot M$的位置关系，并说明理由．

已知直三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$中，侧面为正方形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2$，E，F分别为 $\mathit{AC}$和 $C{C}_1$的中点，D为棱 $A_1{B}_1$上的点． $\mathit{BF}\perp A_1{B}_1$

（1）证明： $\mathit{BF}\perp \mathit{DE}$；

（2）当 $B_{1}D$为何值时，面 $B{B}_1{C}_{1}C$与面 $\mathit{DFE}$所成的二面角的正弦值最小?

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的各项均为正数，记 $S_n$为 $\left\{a_n\right\}$的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列 $\left\{a_n\right\}$是等差数列：②数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$是等差数列；③ $a_2=3a_1$．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P\left(K^2\ge k\right)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 2 的等差数列, 其前 8 项的和为 64 . 数列 $\left\{b_n\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列, $b_1=4$, $b_3-b_2=48$

(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的通项公式.

$\left(2\right)$ 记 $c_n=b_{2n}+\frac{1}{b_n}\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

(1) 证明: $\left\{c_n^2-c_2\right\}$是等比数列.

(2) 证明: $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\sqrt{\frac{a_k{a}_{k+1}}{c_k^2-c_{2k}}}<2\sqrt{2}\hspace{1em}\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\hspace{1em}(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$, 上顶点为 $B$, 离心率为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$, 且 $\left|\mathit{BF}\right|=\sqrt{5}$.

(1) 求椭圆的方程.

(2) 直线 $l$与椭圆有唯一的公共点 $M$, 与 $y$轴的正半轴交于点 $N$. 过 $N$与 $\mathit{BF}$垂直的直线交 $x$轴于点 $P$. 若 $\mathit{MP}\Vert \mathit{BF}$, 求直线 $l$的方程.