高中数学解答题

已知函数 $f\left(x\right)=(x-2)e^x+a{(x-1)}^2$有两个零点．

（Ⅰ）求 $a$的取值范围；

（Ⅱ）设 $x_1$， $x_2$是 $f\left(x\right)$的两个零点，证明： $x_1+x_2<2$．

设圆 $x^2+y^2+2x-15=0$的圆心为 $A$，直线 $l$过点 $B(1,0)$且与 $x$轴不重合， $l$交圆 $A$于 $C$， $D$两点，过 $B$作 $\mathit{AC}$的平行线交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

（Ⅰ）证明 $\left|\mathit{EA}\right|+\left|\mathit{EB}\right|$为定值，并写出点 $E$的轨迹方程；

（Ⅱ）设点 $E$的轨迹为曲线 $C_1$，直线 $l$交 $C_1$于 $M$， $N$两点，过 $B$且与 $l$垂直的直线与圆 $A$交于 $P$， $Q$两点，求四边形 $\mathit{MPNQ}$面积的取值范围．

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 $X$表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， $n$表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）求 $X$的分布列；

（Ⅱ）若要求 $P(X⩽n)⩾0.5$，确定 $n$的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 $n=19$与 $n=20$之中选其一，应选用哪个？

如图，在以 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$， $F$为顶点的五面体中，面 $\mathit{ABEF}$为正方形， $\mathit{AF}=2\mathit{FD}$， $\angle \mathit{AFD}=90°$，且二面角 $D-\mathit{AF}-E$与二面角 $C-\mathit{BE}-F$都是 $60°$．

（Ⅰ）证明平面 $\mathit{ABEF}\perp$平面 $\mathit{EFDC}$；

（Ⅱ）求二面角 $E-\mathit{BC}-A$的余弦值．

$\mathit{\Delta ABC}$的内角 $A$， $B$， $C$的对边分别为 $a$， $b$， $c$，已知 $2\cos C(a\cos B+b\cos A)=c$．

（Ⅰ）求 $C$；

（Ⅱ）若 $c=\sqrt{7}$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的周长．

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为 $\mathit{\rho cos\theta }＝4$．

（1）M为曲线C₁上的动点，点P在线段OM上，且满足 $\left|\mathit{OM}\right|•\left|\mathit{OP}\right|＝16$，求点P的轨迹C₂的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为 $\text{(2,}\frac{\pi }{3})$，点B在曲线C₂上，求△OAB面积的最大值．

设函数 $f（x\mathit{）＝（}1-x^2）·e^x$．

（1）讨论 $f（x）$的单调性；

（2）当 $x\ge 0$时， $f（x）\le \mathit{ax}+1$，求实数a的取值范围．

设O为坐标原点，动点M在椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 $\overrightarrow{\text{NP}}=\sqrt{2}\stackrel{\to }{\mathit{NM}}$．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线 $x\mathit{＝﹣}3$上，且 $\overrightarrow{\mathit{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathit{PQ}}=1$．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．

附：

$P（K^2\ge K）$	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

$K^2=\frac{n{(\mathit{ad}-\mathit{bc})}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$．

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， $\mathit{AB}＝\mathit{BC}＝\frac{1}{2}\mathit{AD}$， $\angle \mathit{BAD}＝\angle \mathit{ABC}＝90°$．

（1）证明：直线BC∥平面PAD；

（2）若△PCD面积为 $2\sqrt{7}$，求四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$的体积．

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前n项和为S_n，等比数列 $\left\{b_n\right\}$的前n项和为T_n， $a_1\mathit{＝﹣}1$， $b_1＝1$， $a_2+b_2＝2$．

（1）若 $a_3+b_3＝5$，求 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）若 $T_3＝21$，求S₃．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线C₁的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=a\cos t\\ y=1+\mathit{asint}\end{array}\right.$（t为参数， $a＞0$）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_2：\rho ＝4\mathit{cos\theta }$．

（Ⅰ）说明C₁是哪种曲线，并将C₁的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C₃的极坐标方程为 $\theta ＝{\alpha }_0$，其中α₀满足 $\mathit{tan}{\alpha }_0＝2$，若曲线C₁与C₂的公共点都在C₃上，求a．

如图，△OAB是等腰三角形， $\angle \mathit{AOB}＝120°$．以O为圆心， $\frac{1}{2}\mathit{OA}$为半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明： $\mathit{AB}\parallel \mathit{CD}$．

已知函数 $f（x\mathit{）＝（}x-2）e^x+a（x-1{）}^2$．

（Ⅰ）讨论 $f（x）$的单调性；

（Ⅱ）若 $f（x）$有两个零点，求a的取值范围．

在直角坐标系xOy中，直线 $l：y＝t（t\ne 0）$交y轴于点M，交抛物线 $C：y^2＝2\mathit{px}（p＞0）$于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．

（Ⅰ）求 $\frac{\left|\text{OH}\right|}{\left|\text{ON}\right|}$；

（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．