高中数学解答题

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）若 $n＝19$，求y与x的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

如图，已知正三棱锥 $P﹣\mathit{ABC}$的侧面是直角三角形， $\mathit{PA}＝6$，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

设 $0＜\alpha ＜\pi ＜\beta ＜2\pi$ ，向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(1,2)$ ， $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(2\cos \alpha ,\sin \alpha )$ ， $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=（\sin \beta ,2\cos \beta ）$ ， $\stackrel{\rightharpoonup }{d}=(\cos \beta ,-2\sin \beta )$ ．
（1）若 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}\perp \stackrel{\rightharpoonup }{b}$ ，求 $\alpha$ ；
（2）若 $|\stackrel{\rightharpoonup }{c}+\stackrel{\rightharpoonup }{d}|=\sqrt{3}$ ，求 $\sin \beta +\cos \beta$ 的值；
（3）若 $\tan \alpha \tan \beta =4$ ，求证: $\stackrel{\rightharpoonup }{b}//\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ ．

已知 $\cos (x-\frac{\mathrm{\pi }}{4})=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ， $x\in (\frac{\mathrm{\pi }}{2},\frac{3\mathrm{\pi }}{4})$ ．
（1）求 $\sin x$ 的值；
（2）求 $\cos (2x-\frac{\mathrm{\pi }}{3})$ 的值．

已知函数 $f\left(x\right)=A\sin (3x+\phi )(A＞0,x\in (-\infty ,+\infty ),0＜\phi ＜\pi ）$ 在x= $x=\frac{\mathrm{\pi }}{12}$ 时取得最大值4．．
（1）求 $f\left(x\right)$ 的最小正周期；
（2）求 $f\left(x\right)$ 的解析式；
（3）若 $f(\frac{2}{3}\alpha +\frac{\mathrm{\pi }}{12})=\frac{12}{5}$ ．求 $\tan 2\alpha$ 的值．

如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，且||=2||．

（Ⅰ）试用，表示；
（Ⅱ）若=3，=2，且∠AOB=60°，求•的值．

已知 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且 $\alpha$ 是第一象限．
（1）求 $\tan (\pi +\alpha )+\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}-\alpha \right)}{\cos \left(\mathrm{\pi }-\mathrm{\alpha }\right)}$ 的值；
（2）求 $\tan (\alpha +\frac{\mathrm{\pi }}{4})$ 的值．

已知函数y=f（x）=．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=处的切线方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）设实数a＞0，求函数F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

设函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=1和x=﹣1处有极值，且f（1）=﹣1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．

如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD="135°" 求BC的长．

求函数y=sinx+cosx的周期，对称轴方程并指出图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到．

已知 $$ $\sin \alpha =45$ ， $$ $\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi ）$ ， $$ $\cos \beta =-\frac{5}{13}$ ， $\beta$是第三象限角，求 $$ $\cos (\alpha -\beta )$ .

已知 $\sin \alpha =2\cos \alpha$ ，求 $\frac{\sin \alpha -4\cos \alpha }{5sin\alpha +2cos\alpha }$ 及 $\mathrm{si}{n}^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha$ 的值．

如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁=2，M，N分别为AC，B₁C₁的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）线段CC₁上是否存在点Q，使A₁B⊥平面MNQ？说明理由．

国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：

由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如图：

（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；
（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；
（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．
（注：s²=[（x₁﹣）²+（x₂﹣）²+…+（x_n﹣）²]，其中为数据x₁，x₂，…，x_n的平均数．）