高中数学解答题

设数列的前n项和为，为等比数列，且，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．

设函数．
（1）解不等式；
（2）当时，证明：．

已知直线（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为，直线与曲线C的交点为A、B，求的值．

如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，且圆的面积为，椭圆的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆的另一个交点分别是点P、M．

（1）求椭圆的方程；
（2）求面积最大值．

已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，P是AD₁中点，Q是BD中点，E是DD₁中点．

（1）求证：PQ∥平面D₁DCC₁；
（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．

已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．

（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）求点E到平面PAC的距离．

2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车展限量上号．某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为（ 万辆），第年（2013年为第1年，2014年为第2 年，依次类推）年初的拥有量记为，该年的增长量和与的乘积成正比，比例系数为其中万．
（1）证明：；
（2）用表示；并说明该汽车总拥有量是否能控制在200万辆内．

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记．
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有．

设函数（是自然对数的底数）．
（1）的单调区间、最大值；
（2）讨论关于x的方程根的个数．

已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象；若函数在区间上的图象与直线有三个交点，求实数a的取值范围．

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求c的值；
（2）求面积S的最大值．

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0．125万元和0．5万元（如图）．

（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：投资债券类产品和投资股票分别多少万元，能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

对于函数为奇函数
（1）求值；
（2）用定义证明：在上是单调减函数；
（3）解不等式．

已知二次函数有两个零点为1和2，且．
（1）求的表达式；
（2）若函数在区间 为单调函数，求实数的取值范围．

已知为定义在上的奇函数，且当时，
（1）求出函数的解析式；
（2）当时，求出的最小值和最大值．