高中数学解答题

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho \mathit{cos}\theta =4$ ．

（1） M为曲线 $C_1$ 上的动点，点 P在线段 OM上，且满足 $\left|\mathit{OM}\right|\cdot \left|\mathit{OP}\right|=16$ ,求点 P的轨迹 $C_2$ 的直角坐标方程；

（2）设点 A的极坐标为 $(2,\frac{\pi }{3})$ ，点 B在曲线 $C_2$ 上，求 $\mathit{\Delta OAB}$ 面积的最大值．

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^3-\mathit{ax}-x\mathit{ln}x,$ 且 $f\left(x\right)\ge 0$ .

（1）求 a；

（2）证明： $f\left(x\right)$ 存在唯一的极大值点 $x_0$ ，且 $e^{-2}<f\left(x_0\right)<2^{-3}$ .

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的左焦点为 $F\mathit{（﹣}c，0）$ ，右顶点为A，点E的坐标为（0，c）， $△\mathit{EFA}$ 的面积为 $\frac{b^2}{2}$ ．

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点Q在线段AE上， $\left|\mathit{FQ}\right|=\frac{3}{2}\mathit{c}$ ，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上， $\mathit{PM}\parallel \mathit{QN}$ ，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．

（i）求直线FP的斜率；

（ii）求椭圆的方程．

已知函数 f（ x）＝ e ^x（ e ^x﹣ a）﹣ a ² x．

（1）讨论 f（ x）的单调性；

（2）若 f（ x）≥0，求 a的取值范围．

设函数 f（ x）＝（1﹣ x ²） e ^x．

（1）讨论 f（ x）的单调性；

（2）当 x≥0时， f（ x）≤ ax+1，求 a的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数 $f（x）=–x^2+\mathit{ax}+4，g\left(x\right)=\mathit{│x}+1│+\mathit{│x–}1│$ .

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ 的解集；

（2）若不等式 $f（x）\ge g（x）$ 的解集包含 $\left[–1，1\right]$ ，求 a的取值范围.

已知函数 $f（x)=a{e}^{2x}+(a﹣2){\mathit{e}}^x﹣x$.

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$有两个零点，求a的取值范围.

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数 $f（x）=\left|2x﹣a\right|+a$ ．

（1）当 $a=2$ 时，求不等式 $f（x）\le 6$ 的解集；

（2）设函数 $g（x）=\left|2x﹣1\right|$ ，当 $x\in R$ 时， $f（x）+g（x）\ge 3$ ，求a的取值范围．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{3}\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\right.（\alpha \mathrm{为参数}）$ ，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\mathit{\rho sin}（\theta +\frac{\pi }{4}）=2\sqrt{2}$ ．

（1）写出 $C_1$ 的普通方程和 $C_2$ 的直角坐标方程；

（2）设点P在 $C_1$ 上，点Q在 $C_2$ 上，求 $\left|\mathit{PQ}\right|$ 的最小值及此时P的直角坐标．

设定义在R上的函数 $f\left(x\right)$ 满足：对于任意的x ₁、x ₂∈R，当 _{$x_1<x_2$} 时，都有 $f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$ ．    

（1）若 $f\left(x\right)=a{x}^3+1$ ，求a的取值范围；    

（2）若 $f\left(x\right)$ 是周期函数，证明： $f\left(x\right)$ 是常值函数；    

（3）设 $f\left(x\right)$ 恒大于零， $g\left(x\right)$ 是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是 $g\left(x\right)$ 的最大值．函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)$ ．证明：" $h\left(x\right)$ 是周期函数"的充要条件是" $f\left(x\right)$ 是常值函数"．

设 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 ${\text{a}}_1$ ，公差为 $\text{d}$ 的等差数列， ${\text{{b}}_{\text{n}}\text{}}$ 是首项 ${\text{b}}_1$ ，公比为q的等比数列    

（1） 设 ${\text{a}}_1\text{=0}，{\text{b}}_1\text{=1,q=2}，$ 若 $\left|{\text{a}}_{\text{n}}{\text{-b}}_{\text{n}}\right|\le {\text{b}}_1$ 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围    

（2） 若 ${\text{a}}_1{\text{=b}}_1>0$ ， $m\in N^{*}$ ， $q\in (1,\sqrt[\text{m}]{2}]$ 证明：存在 $d\in R$ ，使得 $\left|{\text{a}}_{\text{n}}{\text{-b}}_{\text{n}}\right|\le {\text{b}}_1$ 对n=2，3，…， $\text{m+}1$ 均成立，并求 $\text{d}$ 的取值范围（用 ${\text{b}}_{\text{1}}$ $\text{，}\text{m}\text{，}\text{q}$ 表示）。

设数列满足 $\left|a_n﹣\frac{a_{n+1}}{2}\right|\le 1$ ， $n\in N^{*}$ ．

（1）求证： $\left|a_n\right|\ge 2^{n﹣1}（\left|a_1\right|﹣2\mathit{）（}n\in N^{*}）$

（2）若 $\left|a_n\right|\le {（\frac{3}{2}）}^n$ ， $n\in N^{*}\mathit{ }$ ， 证明： $\left|a_n\right|\le 2，n\in N^{*}$ ．

设 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$是两个等差数列，记 $c_n=\mathit{max}\{b_1﹣a_{1}n，b_2﹣a_{2}n，\dots ，b_n﹣a_{n}n\}（n=1，2，3，\dots ）$，其中 $\mathit{max}\{x_1\mathit{ }，x_2，\dots ，x_s\}$表示 $x_1\mathit{ }，x_2，$， …， $x_s$这s个数中最大的数．

（1）若 $a_n=n$， $b_n=2n﹣1$，求 $c_1\mathit{ }$， $c_2$， $c_3$的值，并证明{c_n}是等差数列；

（2）证明：或者对任意正数 $M$，存在正整数 $m$，当 $n\ge m$时， $\frac{c_n}{n}＞M$；或者存在正整数 $m$，使得 $c_m$ ， $c_{m+1}$ ， $c_{m+2}\mathit{ }$， …是等差数列．

给定无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ ，若无穷数列{b _n}满足：对任意 $n\in N*$ ，都有 $|b_n-a_n|\le 1$ ，则称 $\left\{b_n\right\}与\left\{a_n\right\}$ "接近"。    

（1）设 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为1，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $b_n=a_{n+1}+1$ ， $n\in N*$ ，判断数列 $\left\{b_n\right\}$ 是否与 $\left\{a_n\right\}$ 接近，并说明理由；    

（2）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前四项为： $a_1$ =1， $a_2$ =2， $a_3$ =4， $a_4$ =8， $\left\{b_n\right\}$ 是一个与 $\left\{a_n\right\}$ 接近的数列，记集合M={x|x=b _i， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；    

（3）已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为d的等差数列，若存在数列{b _n}满足：{b _n}与 $\left\{a_n\right\}$ 接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…b ₂₀₁-b ₂₀₀中至少有100个为正数，求d的取值范围。   

对于数列 $\left\{u_n\right\}$ 若存在常数M＞0,对任意的 $n\in N^{*}$ ，恒有 $\left|u_{n+1}-u_n\right|+\left|u_n-u_{n-1}\right|+...+\left|u_2-u_1\right|\le M$ 则称数列 $\left\{u_n\right\}$ 为B-数列

（1）首项为1，公比为 $q(\left|q\right|<1)$ 的等比数列是否为B-数列？请说明理由;

请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（2）设 $S_n$ 是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，给出下列两组论断；

A组：①数列 $\left\{x_n\right\}$ 是B-数列      ②数列 $\left\{x_n\right\}$ 不是B-数列

B组：③数列 $\left\{S_n\right\}$ 是B-数列      ④数列 $\left\{S_n\right\}$ 不是B-数列

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

（3）若数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 都是 $B-$ 数列，证明：数列 $\left\{a_n{b}_n\right\}$ 也是 $B-$ 数列。