高中数学解答题

如下图，在正三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $\mathit{AB}=\sqrt{2}\mathit{AA}$ ，D是 $A_1{B}_1$ 的中点，点E在 $A_1{C}_1$ 上，且 $\mathit{DE}\perp \mathit{AE}$ 。

（1）证明:平面 $\mathit{ADE}\perp$ 平面 $C_2:y^2=12x$

（2）求直线 $\mathit{AD}$ 和平面 $\mathit{ABC}$ 所成角的正弦值。    

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{6}$ ，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。

（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（2）记 $\xi$ 为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 $\xi$  的分布列及数学期望。

在 $\mathit{\Delta ABC}$，已知 $2\overrightarrow{\mathit{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathit{AC}}=\sqrt{3}\left|\overrightarrow{\mathit{AB}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\mathit{AC}}\right|=3B{C}^2$，求角A，B，C的大小。

已知函数 $f\left(x\right)=|x-\mathrm{}\frac{1}{2}|+|x+\frac{1}{2}|$ ， M为不等式 $f\left(x\right)＜2$ 的解集.

（1）求 $M$ ；

（2）证明：当 $a,b\in M$ 时， $\mid a+b\mid ＜\mid 1+\mathit{ab}\mid$ 。

在直线坐标系 $xOy$ 中，圆 C的方程为 ${\left(x+6\right)}^2+y^2=25$ .

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程；

（2）直线 l的参数方程是 $\{\begin{array}{c}x=t\cos \alpha \\ y=t\sin \alpha \end{array}（t\mathrm{为参数}）$ , l与 C交于 A、 B两点， $\mid \mathit{AB}\mid = \sqrt{10}$ ，求 l的斜率。

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{E},G$ 分别在边 $\mathit{DA},\mathit{DC}$ 上（不与端点重合），且 $\mathit{DE}=\mathit{DG}$ ，过D点作 $\mathit{DF}\perp \mathit{CE}$ ， 垂足为F.

（1）证明： $B,C,E,F$ 四点共圆；

（2）若 $\mathit{AB}=1$ ，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

（1）讨论函数 $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}{e}^x$ 的单调性，并证明当 $x$ >0时， $(x-2)e^x+x+2>0;$

（2）证明：当 $a\in [0,1)$ 时，函数 $g（\text{x}）\text{=}\frac{e^x-\mathit{ax}-a}{x^2}(x>0)$ 有最小值.设 $g（x）$ 的最小值为 $h\left(a\right)$ ，求函数 $h\left(a\right)$ 的值域.

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{t}+\frac{y^2}{3}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上， A是 E的左顶点，斜率为 $k(k>0)$ 的直线交 E于 A, M两点，点 N在 E上， $\mathit{MA}\perp \mathit{NA}$ .

（1）当 $t=4$ ， $\left|\mathit{AM}\right|=\left|\mathit{AN}\right|$ 时，求 $△\mathit{AMN}$ 的面积；

（2）当 $2\left|\mathit{AM}\right|=\left|\mathit{AN}\right|$ 时，求 k的取值范围.

如图，菱形ABCD的对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{AC}=6$ ，点 $E,F$ 分别在 $\mathit{AD},\mathit{CD}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{CF}=\frac{5}{4}$ ， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $H$ .将 $△\mathit{DEF}$ 沿 $\mathit{EF}$ 折到 $△D^{\text{'}}\mathit{EF}$ 的位置， $O{D}^{\text{'}}=\sqrt{10}$ .

（1）证明： $D^{\text{'}}H\perp$平面 $\mathit{ABCD}$ ；

（2）求二面角 $B-D^{\text{'}}A-C$ 的正弦值.

某险种的基本保费为 $a$（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数	0	1	2	3	4	$\ge$ 5
保费	0.85a	a	1.25a	1.5a	1.75a	2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数	0	1	2	3	4	$\ge$ 5
概率	0.30	0.15	0.20	0.20	0.10	0. 05

（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

$S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前n项和，且 $a_n\text{=}1，S_7=28.$ 记 $b_n\text{=}\left[\lg a_n\right]$ ，其中 $\left[x\right]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[0.9]\text{=0}，\left[\lg 99\right]\text{=1}$ .

（1）求 $b_1，b_{11}，b_{101}$ ；

（2）求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前1 000项和.

设函数 $f\left(x\right)={（x-1）}^3-\mathit{ax}-b,x\in R$，其中 $a,b\in R$。

（1）求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）若 $f\left(x\right)$存在极点 $x_0$， 且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)$，其中 $x_1\ne x_0\mathit{ }$， 求证： $x_1+2_{x0}=3$；

（3）设 $a＞0$,函数 $g\left(x\right)=\mid f\left(x\right)\mid$,求证： $g\left(x\right)$在区间 $[0,2]$上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$.

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}1\mathrm{（}\mathrm{a}\mathrm{＞}\mathrm{}\sqrt{3}）$的右焦点为F，右顶点为A，已知 $\frac{1}{\left|\mathit{OF}\right|}+\frac{1}{\left|\mathit{OA}\right|}=\frac{3e}{\left|\mathit{FA}\right|}$ ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在 $x$轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若 $\mathit{BF}\perp \mathit{HF}$，且 $\angle \mathit{MOA}=\angle \mathit{MAO}$，求直线 $l$的斜率．

已知 $\left\{a_n\right\}$是各项均为整数得等差数列，公差为d，对任意的 $n\in N^{*}$， $b_n$是 $a_n$和 $a_{n+1}$得等比中项。

（1）设 $c_n={b_{n+1}}^2-{b_n}^2$， $n\in N^{*}$，求证：数列 $\left\{c_n\right\}$是等差数列；

（2）设 $a_1=d$， $T_n=\underset{k=1}{\overset{2n}{\sum }}{(-1)}^k{b_k}^2$， $n\in N^{*}$，求证： $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{Ti}<\frac{1}{{2d}^2}$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的中心为 $\mathit{O }$，四边形 $\mathit{OBEF}$为矩形，平面 $\mathit{OBEF}\perp$平面 $\mathit{ABCD}$ ， 点 $G$为 $AB$的中点， $\mathit{AB}=\mathit{BE}=2.$

（1）求证： $\mathit{EG}\parallel$ 平面 $\mathit{ADF}$ ；

（2）求二面角 $O-\mathit{EF}-C$ 的正弦值；

（3）设 H为线段 $\mathit{AF}$ 上的点，且 $\mathit{AH}=\frac{2}{3}\mathit{HF}$ ，求直线 $\mathit{BH}$ 和平面 $\mathit{CEF}$ 所成角的正弦值.