高中数学解答题

设定义在R上的函数 $f\left(x\right)$ 满足：对于任意的x ₁、x ₂∈R，当 _{$x_1<x_2$} 时，都有 $f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$ ．    

（1）若 $f\left(x\right)=a{x}^3+1$ ，求a的取值范围；    

（2）若 $f\left(x\right)$ 是周期函数，证明： $f\left(x\right)$ 是常值函数；    

（3）设 $f\left(x\right)$ 恒大于零， $g\left(x\right)$ 是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是 $g\left(x\right)$ 的最大值．函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)$ ．证明：" $h\left(x\right)$ 是周期函数"的充要条件是" $f\left(x\right)$ 是常值函数"．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： $\frac{x^2}{4}+y^2=1$  ，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．

（1）若P在第一象限，且|OP|= $\sqrt{2}$ ，求P的坐标；

（2）设P $\left(\frac{8}{5}，\frac{3}{5}\right)$ ，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若 $\left|MA\right|=\left|MP\right|$ ，直线AQ与Γ交于另一点C，且   $\stackrel{\rightharpoonup }{AQ}=2\stackrel{\to }{AC}$ ， $\stackrel{\to }{PQ}=4\stackrel{\to }{PM}$ ，求直线AQ的方程．

根据预测，某地第n（n∈N ^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 $a_n$ 和 _{$b_n$} （单位：辆），其中  $a_n=\{\begin{array}{c}5n^4+15{，}_{}1\le n\le 3\\ -10n+470{，}_{}n\ge 4\end{array}$ ， $b_n=n+5$ ，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．    

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；    

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量 $S_n=-4{\left(n-46\right)}^2+8800$ （单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

已知函数 $f\left(x\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+\frac{1}{2},x\in \left(0,\mathrm{\pi }\right)$  ．    

（1）求 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间；    

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边 $a=\sqrt{19}$ ，角B所对边b=5，若 $f\left(A\right)=0$ ，求△ABC的面积．

如图，直三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱 $A{A}_1$ 的长为5．

（1）求三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的体积；    

（2）设M是BC中点，求直线A ₁M与平面ABC所成角的大小．    

设 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 ${\text{a}}_1$ ，公差为 $\text{d}$ 的等差数列， ${\text{{b}}_{\text{n}}\text{}}$ 是首项 ${\text{b}}_1$ ，公比为q的等比数列    

（1） 设 ${\text{a}}_1\text{=0}，{\text{b}}_1\text{=1,q=2}，$ 若 $\left|{\text{a}}_{\text{n}}{\text{-b}}_{\text{n}}\right|\le {\text{b}}_1$ 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围    

（2） 若 ${\text{a}}_1{\text{=b}}_1>0$ ， $m\in N^{*}$ ， $q\in (1,\sqrt[\text{m}]{2}]$ 证明：存在 $d\in R$ ，使得 $\left|{\text{a}}_{\text{n}}{\text{-b}}_{\text{n}}\right|\le {\text{b}}_1$ 对n=2，3，…， $\text{m+}1$ 均成立，并求 $\text{d}$ 的取值范围（用 ${\text{b}}_{\text{1}}$ $\text{，}\text{m}\text{，}\text{q}$ 表示）。

记 $f^{\text{'}}\left(x\right),g^{\text{'}}\left(x\right)$ 分别为函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的导函数.若存在 $x_0\in R$ ，满足 $f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)$ 且 $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=g^{\text{'}}\left(x_0\right)$ ，则称 $x_0$ 为函数 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 的一个“S点”.

（1）证明：函数 $f\left(x\right)=x$ 与 $g\left(x\right)=x^2+2x-2$ 不存在“S点”.

（2）若函数 $f\left(x\right)=a{x}^2-1$ 与 $g\left(x\right)=\ln x$ 存在“S点”，求实数 $a$ 的值.   

（3）已知函数 $f\left(x\right)=-x^2+a$ ， $g\left(x\right)=\frac{b{e}^x}{x}$ ，对任意 $a>0$ ，判断是否存在 $b>0$ ，使函数 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内存在“S”点，并说明理由.   

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，椭圆C过点 $(\sqrt{3},\frac{1}{2})$ ，焦点 $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$ ，圆O的直径为 $F_1{F}_2$ .

（1）求椭圆C及圆O的方程；   

（2）设直线 $l$ 与圆O相切于第一象限内的点P.

①若直线 $l$ 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线 $l$ 与椭圆C交于A、B两点.若 $\mathit{\Delta OAB}$ 的面积为 $\frac{2\sqrt{6}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $\mathit{MPN}$ ( $P$ 为此圆弧的中点)和线段 $\mathit{MN}$ 构成,已知圆 $O$ 的半径为40米,点 $P$ 到 $\mathit{MN}$ 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 $\mathit{ABCD}$ .大棚Ⅱ内的地块形状为 $\mathit{\Delta CDP}$要求 $\mathit{AB}$ 均在线段 $\mathit{MN}$ 上, $C,D$ 均在圆弧上,设 $\mathit{OC}$ 与 $\mathit{MN}$ 所成的角为 $\theta$

（1）用 $\theta$分别表示矩形 $ABCD$ 和 $\Delta CDP$的面积,并确定 $\sin \theta$ 的取值范围

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4:3$.求当 $\theta$为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

已知 $\alpha ,\beta$ 为锐角， $\tan \alpha =\frac{4}{3}$ ， $\cos (\alpha +\beta )=-\frac{\sqrt{5}}{5}$ 。   

（1）求 $\cos 2\alpha$ 的值。   

（2）求 $\tan (\alpha -\beta )$ 的值。  

在平行四边形 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $A{A}_1=\mathit{AB},A{B}_1\perp B_1{C}_1$

求证：

（1） $\mathit{AB}//$ 平面 $A_1{B}_{1}C$

（2）平面 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1\perp$平面 $A_1\mathit{BC}$

设数列满足 $\left|a_n﹣\frac{a_{n+1}}{2}\right|\le 1$ ， $n\in N^{*}$ ．

（1）求证： $\left|a_n\right|\ge 2^{n﹣1}（\left|a_1\right|﹣2\mathit{）（}n\in N^{*}）$

（2）若 $\left|a_n\right|\le {（\frac{3}{2}）}^n$ ， $n\in N^{*}\mathit{ }$ ， 证明： $\left|a_n\right|\le 2，n\in N^{*}$ ．

如图，设椭圆 $C：\frac{x^2}{a^2}+y^2=1（a＞1）$

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+1$ 被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）

（2）若任意以点 $A（0，1）$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

已知 $a\ge 3$，函数 $F（x）=\mathit{min}\left\{2\right|x﹣1|，x^2﹣2\mathit{ax}+4a﹣2\}$，其中 $\mathit{min}（p，q）=\left\{\begin{array}{c}p,p\le q\\ q,p>q\end{array}\right.$

（1）求使得等式 $F（x）=x^2﹣2\mathit{ax}+4a﹣2$成立的x的取值范围

（2）（1）求 $F（x）$的最小值 $m（a）$

（3）求 $F（x）$在 $\left[0，6\right]$上的最大值 $M（a）$

如图，在三棱台 $\mathit{ABC}﹣\mathit{DEF}$中，已知平面 $\mathit{BCFE}\perp$平面 $\mathit{ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BE}=\mathit{EF}=\mathit{FC}=1$， $\mathit{BC}=2$， $\mathit{AC}=3$，

（1）求证： $\mathit{EF}\perp$平面 $\mathit{ACFD}$；

（2）求二面角 $B﹣\mathit{AD}﹣F$的余弦值．