高中数学解答题

选修4－1：几何证明选讲
如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁，⊙O₂于点D，E，DE与AC相交于点P．

（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长；

设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当时，求函数的极值点
（Ⅲ）证明：对任意的正整数 ，不等式都成立．

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点为（0，），且离心率等于，过点（0，2）的直线与椭圆相交于，不同两点，点在线段上．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，试求的取值范围．

某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为．

（1）分别求出，的值；
（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；
（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
（注：方差，其中为数据的平均数）．

（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20,25）、第2组[25,30）、第3组[30,35）、第4组[35,40）、第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示：

（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；
（3）在（2）的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．

已知函数，（为常数且）．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．

如图，已知抛物线，点是x轴上的一点，经过点且斜率为1的直线与抛物线相交于两点．

（1）求证线段的中点在一条定直线上，并求出该直线方程；
（2）若（O为坐标原点），求的值．

已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设,数列的最小项是第几项，并求出该项的值．

已知等差数列｛a _n ｝的前n 项和S_n 满足S₃＝0，S₅＝－5．
（1）求｛a _n ｝的通项公式；
（2）求数列的前n 项和

已知棱长为的正方体中，是的中点，为的中点。

（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值。

（本小题满分12分）已知，函数
（1）当时，求函数在点（1，）的切线方程；
（2）求函数在[－1，1]的极值；
（3）若在上至少存在一个实数，使成立，求正实数的取值范围．

设命题p:实数满足，其中;命题q：实数满足
（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件求实数的取值范围；

已知函数的定义域为集合，的值域为集合.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若集合，且，求实数的取值范围.

（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到如下的列联表：

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合计	30	20	50

 
（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？
（2）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率．
（3）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？
附：（临界值表供参考）

	0．15	0．10	0．05	0．025	0．010	0．005	0．001
	2．072	2．706	3．841	5．024	6．635	7．879	10．828

 

如图，过点作抛物线的切线，切点在第二象限．

（1）求切点的纵坐标；
（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点，设切线交椭圆的另一点为，记切线，，的斜率分别为，，，若，求椭圆方程．