高中数学解答题

某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

若幸福度不低于9．5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．
（1）从这16人中随机选取3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望，并求出至多有1人是“极幸福”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望．

（本小题满分13分）已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足
（1）求椭圆的标准方程；
（2）⊙是以为直径的圆，一直线与⊙相切，并与椭圆交于不同的两点．当，且满足时，求面积的取值范围．

选修4—4：坐标系与参数方程
已知椭圆C：，直线：，
（Ⅰ）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C与直线的极坐标方程；
（Ⅱ）已知P是上一动点，射线OP交椭圆C于点R，又点Q在OP上且满足．当点P在上移动时，求点Q在直角坐标系下的轨迹方程．

已知定点及椭圆，过点的动直线与该椭圆相交于两点．

（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）已知，对于函数图象上任意不同的两点，其中，直线的斜率为，记，若求证

已知曲线：，曲线：.曲线的左顶点恰为曲线的左焦点.

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设为曲线上一点，过点作直线交曲线于两点. 直线交曲线于 两点. 若为中点，
① 求证：直线的方程为 ；
② 求四边形的面积.

（本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．

（本小题满分12分）已知，设函数．
（Ⅰ）若在 上无极值，求的值；
（Ⅱ）若存在，使得是在[0, 2]上的最大值，求t的取值范围；
（Ⅲ）若（为自然对数的底数）对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．

（本小题满分12分）如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

（本小题满分12分）设数列的各项均为正数，它的前项的和为，且，数列满足．其中．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：数列的前项的和（）．

（本小题满分12分）已知正方体的棱长为，分别是棱的中点，
（Ⅰ）求正方体的内切球的半径与外接球的半径之比；
（Ⅱ）求四棱锥的体积.

（本小题满分15分）已知数列的首项，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）求证：，．

如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（图（2））．

（1）求证：平面EFG∥平面PAB；
（2）若点Q是线段PB的中点，求证：PC⊥平面ADQ；
（3）求三棱锥C－EFG的体积．

如图，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,．

（1）求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为, 求二面角的正切值．

已知：以点C（t,） （）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点。
（1）求证：的面积为定值。
（2）设直线与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程。