高中数学解答题

已知实数函数（为自然对数的底数）．
（Ⅰ)求函数的单调区间及最小值；
（Ⅱ）若≥对任意的恒成立，求实数的值；
（Ⅲ）证明：

已知函数（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；
（Ⅲ）求证：.

已知是关于的方程的根，
证明：（Ⅰ）;（Ⅱ）.

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中有个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为.

图1         图2            图3                 图4
（Ⅰ）求出,,,;
（Ⅱ）找出与的关系，并求出的表达式；
（Ⅲ）求证：().

设函数，若在点处的切线斜率为．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；

如图，F₁，F₂分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂＝60°

(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF₁B的面积为40，求a，b的值

设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：f(x)为奇函数的充要条件是a²＋b²＝0.

已知三点P（5，2）、F₁（－6，0）、F₂（6，0）。
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、F₁、F₂关于直线y＝x的对称点分别为，求以为焦点且过点的双曲线的标准方程。

在直角坐标系上取两个定点，再取两个动点且．
（I）求直线与交点的轨迹的方程；
（II）已知，设直线：与（I）中的轨迹交于、两点，直线、 的倾斜角分别为且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.

已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为.从这个圆上任意一点向轴作垂线，为垂足.
（Ⅰ）求线段中点的轨迹方程；
（Ⅱ）已知直线与的轨迹相交于两点，求的面积

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位： 辆/小时）f ,可以达到最大，并求出最大值．

已知函数，是大于零的常数．
（Ⅰ）当时,求的极值；
（Ⅱ）若函数在区间上为单调递增，求实数的取值范围；
(Ⅲ)证明：曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立.

已知向量
（1）求，并求在上的投影
（2）若，求的值，并确定此时它们是同向还是反向？

设函数。
（1）如果，求函数的单调递减区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）证明：当时，

某厂生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为．当年产量不足千件时，(万元)．当年产量不小于千件时，(万元)．每件商品售价为万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？