高中数学解答题

已知双曲线的焦点为,且离心率为2；
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若经过点的直线交双曲线于两点，且为的中点，求直线的方程．

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为棱AB，PC的中点

（1）求证：PE⊥BC；
（2）求证：EF∥平面PAD．

已知函数在上有最大值1和最小值0，设（
为自然对数的底数）．
（1）求的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等
比数列，且对任意的恒成立．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和．

如图，中，是的中点，，．将沿折起，使点与图中点重合．

（1）求证：平面；
（2）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；
（3）在（2）条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为？证明你的结论．

“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．

（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）

	0．10	0．05	0．010	0．005
	2．706	3．841	6．635	7．879

 
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，
求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．
（参考公式：．其中．）

在三棱锥中，是等边三角形，．

（1）证明：； 
（2）若，且平面平面，求三棱锥的体积．

设是数列的前项和，．
（1）求的通项；
（2）设，求数列的前项和．

已知函数．
（1）设，且，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB＝1，，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．

20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数．

某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位:月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：

（月）
（千克）

 
（1）在给出的坐标系中，画出关于x、y两个相关变量的散点图．

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归直线方程．
（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）．
（参考公式：，，，，，

如图所示，椭圆与直线相切于点．

（1）求满足的关系式，并用表示点的坐标；
（2）设是椭圆的右焦点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆的标准方程．

如图，椭圆的左、右焦点为，，过的直线与椭圆相交于、两点．

（1）若，且 ，求椭圆的离心率．
（2）若，，求的最大值和最小值．

已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）．

（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．

已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若时，都有解，求的取值范围；
（3）若，试证明：对任意，恒成立．