高中数学试题

在直角坐标系 $xOy$中，点 $P$到 $x$轴的距离等于点 $P$到点 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$的距离，记动点 $P$的轨迹为 $W$．

（1）求 $W$的方程；

（2）已知矩形 $ABCD$有三个顶点在 $W$上，证明：矩形 $ABCD$的周长大于 $3\sqrt{3}$．

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $0.6$，乙每次投篮的命中率均为 $0.8$．由抽签确定第 $1$次投篮的人选，第 $1$次投篮的人是甲、乙的概率各为 $0.5$．

（1）求第 $2$次投篮的人是乙的概率；

（2）求第 $i$次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量 $X_i$服从两点分布，且 $P\left(X_i=1\right)=1-P\left(X_i=0\right)=q_i$， $i=1,2,...,n$则 $E\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum X_i}}\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum q_i}}$．记前 $n$次（即从第 $1$次到第 $n$次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$，求 $E\left(Y\right)$．

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差为 $d$，且 $d>1$．令 $b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$，记 $S_n$， $T_n$分别为数列 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和．

（1）若 $3a_2=3a_1+a_3$， $S_3+T_3=21$，求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）若 $\left\{b_n\right\}$为等差数列，且 $S_{99}-T_{99}=99$，求 $d$．

已知函数 $f\left(x\right)=a\left(e^x+a\right)-x$．

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）证明：当 $a>0$时， $f\left(x\right)>2\ln a+\frac{3}{2}$．

如图，在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $AB=2$， $A{A}_1=4$．点 $A_2$， $B_2$， $C_2$， $D_2$分别在棱 $A{A}_1$， $B{B}_1$， $C{C}_1$， $D{D}_1$上， $A{A}_2=1$， $B{B}_2=D{D}_2=2$， $C{C}_2=3$．

（1）证明： $B_2{C}_2\parallel A_2{D}_2$；

（2）点 $P$在棱 $B{B}_1$上，当二面角 $P-A_2{C}_2-D_2$为 $150°$时，求 $B_{2}P$．

已知在 $△ABC$中， $A+B=3C$， $2\sin \left(A-C\right)=\sin B$．

（1）求 $\sin A$；

（2）设 $AB=5$，求 $AB$边上的高．

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$的左、右焦点分别为 $F_1$， $F_2$．点 $A$在 $C$上，点 $B$在 $y$轴上， $\overrightarrow{F_{1}A}\perp \overrightarrow{F_{1}B}$， $\overrightarrow{F_{2}A}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{F_{2}B}$，则 $C$的离心率为＿＿＿＿＿．

已知函数 $f\left(x\right)=\cos \omega x-1\left(\omega >0\right)$在区间 $\left[0,2\mathrm{\pi }\right]$有且仅有 $3$个零点，则 $\omega$的取值范围是＿＿＿＿＿．

在正四棱台 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $AB=2$， $A_1{B}_1=1$， $A{A}_1=\sqrt{2}$，则该棱台的体积为＿＿＿＿＿．

某学校开设了 $4$门体育类选修课和 $4$门艺术类选修课，学生需从这 $8$门课中选修 $2$门或 $3$门课，并且每类选修课至少选修 $1$门，则不同的选课方案共有＿＿＿＿＿种（用数字作答）．

下列物体中，能够被整体放入棱长为 $1$（单位： $m$）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）

A．	直径为 $0.99m$的球体
B．	所有棱长均为 $1.4m$的四面体
C．	底面直径为 $0.01m$，高为 $1.8m$的圆柱体
D．	底面直径为 $1.2m$，高为 $0.01m$的圆柱体

已知函数 $f\left(x\right)$的定义域为 $R$， $f\left(xy\right)=y^{2}f\left(x\right)+x^{2}f\left(y\right)$，则（ ）

A．	$f\left(0\right)=0$	B．	$f\left(1\right)=0$
C．	$f\left(x\right)$是偶函数	D．	$x=0$为 $f\left(x\right)$的极小值点

噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $L_p=20\times lg\frac{p}{p_0}$，其中常数 $p_0\left(p_0>0\right)$是听觉下限阈值， $p$是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源	与声源的距离 $/m$	声压级 $/dB$
燃油汽车	$10$	$60~90$
混合动力汽车	$10$	$50~60$
电动汽车	$10$	$40$

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $10m$处测得实际声压分别为 $p_1,p_2,p_3$，则（ ）

A．

$p_1\ge p_2$

B．

$p_2>10p_3$

C．

$p_3=100p_0$

D．

$p_1\le 100p_2$

有一组样本数据 $x_1,x_2,...,x_6$，其中 $x_1$是最小值， $x_6$是最大值，则（ ）

A．	$x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数等于 $x_1,x_2,...,x_6$的平均数
B．	$x_2,x_3,x_4,x_5$的中位数等于 $x_1,x_2,...,x_6$的中位数
C．	$x_2,x_3,x_4,x_5$的标准差不小于 $x_1,x_2,...,x_6$的标准差
D．	$x_2,x_3,x_4,x_5$的极差不大于 $x_1,x_2,...,x_6$的极差

已知 $\sin \left(\alpha -\beta \right)=\frac{1}{3}$， $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{6}$，则 $\cos \left(2\alpha +2\beta \right)=$　（ ）

A．

$\frac{7}{9}$

B．

$\frac{1}{9}$

C．

$-\frac{1}{9}$

D．

$-\frac{7}{9}$