高中数学试题

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^3-\mathit{ax}-x\mathit{ln}x,$ 且 $f\left(x\right)\ge 0$ .

（1）求 a；

（2）证明： $f\left(x\right)$ 存在唯一的极大值点 $x_0$ ，且 $e^{-2}<f\left(x_0\right)<2^{-3}$ .

设O为坐标原点，动点M在椭圆 $C：\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 $\overrightarrow{\mathit{NP}}=\sqrt{2}\overrightarrow{\mathit{NM}}$ .

(1) 求点 P的轨迹方程；

(2) 设点 Q在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{\mathit{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathit{PQ}}=1$ .证明：过点 P且垂直于 $\mathit{OQ}$ 的直线 l过 C的左焦点 F.

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中，侧面 $\mathit{PAD}$ 为等比三角形且垂直于底面 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=\frac{1}{2}\mathit{AD},\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{ABC}=90^o,$ $E$ 是 $\mathit{PD}$ 的中点.

（1）证明：直线 $\mathit{CE}//$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

（2）点 M在棱 PC上，且直线 BM与底面 ABCD所成锐角为 $45^o$ ，求二面角 $M-\mathit{AB}-D$ 的余弦值.

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（ ）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

$K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$\mathit{\Delta ABC}$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ,已知 $\mathit{sin}(A+C)=8{\mathit{sin}}^2\frac{B}{2}$ ．

(1)求 $\mathit{cos}B$

(2)若 $a+c=6$ , $\mathit{\Delta ABC}$ 面积为2，求 $b.$

已知 $F$ 是抛物线 $C：y^2=8x$ 的焦点， ${\rm M}$ 是 $C$ 上一点， $\mathit{F{\rm M}}$ 的延长线交 $y$ 轴于点 ${\rm N}$ ．若 ${\rm M}$ 为 $\mathit{F{\rm N}}$ 中点，则 $\left|\mathit{F{\rm N}}\right|=$             ．

等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ， $a_3=3$ ， $S_4=10$ ，则 $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{S_k}=$           ．

函数 $f\left(x\right)={\mathit{sin}}^{2}x+\sqrt{3}\mathit{cos}x-\frac{3}{4}$ （ $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ ）的最大值是         ．

一批产品的二等品率为 $0.02$ ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 $100$ 次， ${\rm X}$ 表示抽到的二等品件数，则 $\mathit{D{\rm X}}=$          ．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 $\overrightarrow{\mathit{PA}}\cdot (\overrightarrow{\mathit{PB}}+\overrightarrow{\mathit{PC}})$ 的最小值是（  ）

A.. $-2$ .                   B. $-\frac{3}{2}$                  C. $-\frac{4}{3}$                     D. $-1$

若 $x=-2$ 是函数 $f\left(x\right)=(x^2+\mathit{ax}-1)e^{x-1`}$ 的极值点，则 $f\left(x\right)$ 的极小值为（  ）

A. $-1$                    B. $-2e^{-3}$                    C. $5e^{-3}$                   D.1

已知直三棱柱 $\mathit{{\rm A}{\rm B}C}-{{\rm A}}_1{{\rm B}}_1{C}_1$ 中， $\angle \mathit{{\rm A}{\rm B}}C=120^{\circ }$ ， $\mathit{{\rm A}{\rm B}}=2$ ， $\mathit{{\rm B}C}=\text{C}{\text{C}}_1=1$ ，则异面直线 ${\rm A}{{\rm B}}_1$ 与 ${\rm B}{C}_1$ 所成角的余弦值为（    ）

A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$                     B． $\frac{\sqrt{15}}{5}$                C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$               D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （ $a>0$ ， $b>0$ ）的一条渐近线被圆 ${\left(x-2\right)}^2+y^2=4$ 所截得的弦长为2，则 $C$ 的离心率为（  ）

A．2                     B． $\sqrt{3}$                C． $\sqrt{2}$                     D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

执行右面的程序框图，如果输入的 $a=-1$ ，则输出的 $S=$ （  ）

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（  ）

A．乙可以知道四人的成绩                        B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩                    D．乙、丁可以知道自己的成绩