高中数学试题

已知函数 $f（x）=x^3+a{x}^2+\mathit{bx}+1（a＞0，b\in R）$ 有极值，且导函数 $f\text{'}（x）$ 的极值点是 $f（x）$ 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）证明： $b^2＞3a$ ；

（Ⅲ）若 $f（x）$ ， $f\text{'}（x）$ 这两个函数的所有极值之和不小于 $﹣\frac{7}{2}$ ，求a的取值范围．

对于给定的正整数k，若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足： $a_{n-k}+a_{n-k+1}+\dots +a_{n-1}+a_{n+1}+\dots a_{n+k-1}+a_{n+k}=2k{a}_n$ 对任意正整数 $n（n＞k）$ 总成立，则称数列{a _n}是" $P（k）$ 数列"．

（Ⅰ）证明：等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 是" $P（3）$ 数列"；

（Ⅱ）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 既是"P（2）数列"，又是" $P（3）$ 数列"，证明： $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列．

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 $Ⅰ$和正四棱台形玻璃容器 $Ⅱ$的高均为 $32cm$，容器 $Ⅰ$的底面对角线 $AC$的长为 $10\sqrt{7}$ cm，容器 $Ⅱ$的两底面对角线 $EG$， $E{ }_1{G}_{ 1}$的长分别为 $14cm$和 $62cm$．分别在容器 $Ⅰ$和容器 $Ⅱ$中注入水，水深均为 $12cm$．现有一根玻璃棒 $l$，其长度为 $40cm$．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（Ⅰ）将l放在容器 $Ⅰ$中， $l$的一端置于点 $A$处，另一端置于侧棱 $CC{ }_1$上，求 $l$没入水中部分的长度；

（Ⅱ）将l放在容器 $Ⅱ$中， $l$的一端置于点 $E$处，另一端置于侧棱 $G{G}_{ 1}$上，求 $l$没入水中部分的长度．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，椭圆 $E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的左、右焦点分别为 $F{ }_1$， $F_{ 2}$， 离心率为 $\frac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为 $8$．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点 $F_{ 1}$作直线 $P{F}_{ 1}$的垂线 $l{ }_1$， 过点 $F_{ 2}$作直线 $PF{ }_2$的垂线 $l{ }_2$．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）若直线 $l{ }_1$， $l 2$的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

已知向量 $\vec{a}=（\mathit{cosx}，\mathit{sinx}）$ ， $\vec{b}=（3\mathit{，﹣}\sqrt{3}$ ）， $x\in \left[0，\pi \right]$ ．

（Ⅰ）若 $\vec{a}\parallel \vec{b}$ ，求x的值；

（Ⅱ）记 $f（x）=\vec{a}\cdot \vec{b}$ ，求 $f（x）$ 的最大值和最小值以及对应的x的值．

如图，在三棱锥 $A﹣\mathit{BCD}$ 中， $\mathit{AB}\perp \mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}\perp \mathit{BD}$ ，平面 $\mathit{ABD}\perp$ 平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且 $\mathit{EF}\perp \mathit{AD}$ ．

求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；

（Ⅱ） $\mathit{AD}\perp \mathit{AC}$ ．

设 $f（x）$是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上， $f（x）=\left\{\begin{array}{c}{x}^2，x\in D\\ x，x\notin D\end{array}\right.$ ，其中集合 $D=\left\{x\right|x=\frac{n-1}{n}，n\in N^{*}\}$，则方程 $f（x\mathit{）﹣}\mathit{lgx}=0$的解的个数是________．

在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x ²+y ²=50上．若 $\overrightarrow{\mathit{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathit{PB}}\le 20$ ，则点P的横坐标的取值范围是________．

如图，在同一个平面内，向量 $\overrightarrow{\mathit{OA}}$， $\overrightarrow{\mathit{OB}}$， $\overrightarrow{\mathit{OC}}$的模分别为1，1， $\sqrt{2}$， $\overrightarrow{\mathit{OA}}$与 $\overrightarrow{\mathit{OC}}$的夹角为 $\alpha$，且 $\mathit{tan\alpha }=7$， $\overrightarrow{\mathit{OB}}$与 $\overrightarrow{\mathit{OC}}$的夹角为 $45°$ ．若 $\overrightarrow{\mathit{OC}}=\mathit{m}\overrightarrow{\mathit{OA}}+\mathit{n}\overrightarrow{\mathit{OB}}$ $（m，n\in R）$ ，则 $m+n=$ ________．

已知函数 $f（x）=x^3﹣2x+e^x﹣\frac{1}{e^x}$ ，其中e是自然对数的底数．若 $f（a﹣1）+f（2a^2）\le 0$ ．则实数a的取值范围是________．

某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为实数，其前n项为S _n， 已知 $S_3=\frac{7}{4}$ ， $S_6=\frac{63}{4}$ ，则 $a_8=$ ________．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，双曲线 $\frac{x^2}{3}﹣y^2=1$ 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是 $F_1$ ， $F_2$ ， 则四边形 $F_{1}P{F}_{2}Q$ 的面积是________．

记函数 $f（x）=\sqrt{6+x-x^2}$ 定义域为D．在区间 $\left[﹣4，5\right]$ 上随机取一个数x，则 $x\in D$ 的概率是________．

如图，在圆柱 $O{ }_1{O}_{ 2}$内有一个球 $O$，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 $O_{ 1}{O}_{ 2}$的体积为 $V{ }_1$， 球 $O$的体积为 $V{ }_2$， 则 $\frac{V_1}{V_2}$ 的值是________．