初中数学试题

下列计算正确的是 $($　　 $)$

A． $3a+4b=7\mathit{ab}$B． ${\left(a{b}^3\right)}^2=a{b}^6$C． ${(a+2)}^2=a^2+4$D． $x^{12}÷x^6=x^6$

$-\frac{1}{2}$的倒数是 $($　　 $)$

A． $-2$B．2C． $\frac{1}{2}$D． $-\frac{1}{2}$

我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点．求证：中点四边形 $\mathit{EFGH}$是平行四边形；

（2）如图2，点 $P$是四边形 $\mathit{ABCD}$内一点，且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\mathit{PC}=\mathit{PD}$， $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，猜想中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使 $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}=90°$，其他条件不变，直接写出中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状．（不必证明）

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $E$作直线 $l//\mathit{BC}$．

（1）判断直线 $l$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}$的平分线 $\mathit{BF}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$，求证： $\mathit{BE}=\mathit{EF}$；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{DE}=4$， $\mathit{DF}=3$，求 $\mathit{AF}$的长．

某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：

	第1天	第2天	第3天	第4天
售价 $x$（元 $/$双）	150	200	250	300
销售量 $y$（双）	40	30	24	20

（1）观察表中数据， $x$， $y$满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；

（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？

2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面 $L$处发射，当火箭达到 $A$点时，从位于地面 $R$处雷达站测得 $\mathit{AR}$的距离是 $6\mathit{km}$，仰角为 $42.4°$；1秒后火箭到达 $B$点，此时测得仰角为 $45.5°$

（1）求发射台与雷达站之间的距离 $\mathit{LR}$；

（2）求这枚火箭从 $A$到 $B$的平均速度是多少（结果精确到 $0.01)$？

（参考数据： $\sin 42.4°\approx 0.67$， $\cos 42.4°\approx 0.74$， $\tan 42.4°\approx 0.905$， $\sin 45.5°\approx 0.71$， $\cos 45.5°\approx 0.70$， $\tan 45.5°\approx 1.02)$

在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：

甲：79，86，82，85，83

乙：88，79，90，81，72．

回答下列问题：

（1）甲成绩的平均数是　        　，乙成绩的平均数是　      　；

（2）经计算知 $S_{甲}^2=6$， $S_{乙}^2=42$．你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由；

（3）如果从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}5x+2⩾3(x-1)\\ 1-\frac{2x+5}{3}>x-2\end{array}\right.$．

如图，在平面直角坐标系中，函数 $y=2x$和 $y=-x$的图象分别为直线 $l_1$， $l_2$，过点 $(1,0)$作 $x$轴的垂线交 $l_1$于点 $A_1$，过点 $A_1$作 $y$轴的垂线交 $l_2$于点 $A_2$，过点 $A_2$作 $x$轴的垂线交 $l_1$于点 $A_3$，过点 $A_3$作 $y$轴的垂线交 $l_2$于点 $A_4$， $\dots$依次进行下去，则点 $A_{2017}$的坐标为　         　．

如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点 $M$与圆心 $O$重合，则图中阴影部分的面积是　          　．

方程 $2x^2-3x-1=0$的两根为 $x_1$， $x_2$，则 $x_1^2+x_2^2=$　      　．

正六边形的每个外角是　     　度．

化简 $\frac{3}{\sqrt{3}}$的结果是　     　．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\mathit{AB}=4$， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点 $E$重合，将三角板绕点 $E$旋转，三角板的两直角边分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$（或它们的延长线）于点 $M$， $N$，设 $\angle \mathit{AEM}=\alpha (0°<\alpha <90°)$，给出下列四个结论：

① $\mathit{AM}=\mathit{CN}$；

② $\angle \mathit{AME}=\angle \mathit{BNE}$；

③ $\mathit{BN}-\mathit{AM}=2$；

④ $S_{\mathit{\Delta EMN}}=\frac{2}{\mathit{co}{s}^2\alpha }$．

上述结论中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？” $($　　 $)$

A．3步B．5步C．6步D．8步