初中数学数轴试题

如图，数轴上有 $O$、 $A$、 $B$三点， $O$为原点， $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$分别表示仙女座星系、 $M87$黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点 $B$表示的数最为接近的是 $($　　 $)$

A． $5\times {10}^6$B． ${10}^7$C． $5\times {10}^7$D． ${10}^8$

数轴上点 $A$， $B$， $M$表示的数分别是 $a$， $2a$，9，点 $M$为线段 $\mathit{AB}$的中点，则 $a$的值是 $($　　 $)$

A．3B．4.5C．6D．18

如图，在数轴上，点 $A$表示的数为 $-1$，点 $B$表示的数为4， $C$是点 $B$关于点 $A$的对称点，则点 $C$表示的数为　　．

数轴上点 $A$表示的数是 $-3$，将点 $A$在数轴上平移7个单位长度得到点 $B$．则点 $B$表示的数是 $($　　 $)$

A．4B． $-4$或10C． $-10$D．4或 $-10$

若数轴上点 $A$、 $B$分别表示数2、 $-2$，则 $A$、 $B$两点之间的距离可表示为 $($　　 $)$

A． $2+(-2)$B． $2-(-2)$C． $(-2)+2$D． $(-2)-2$

如图，在数轴上，点 $A$、 $B$分别表示数1、 $-2x+3$．

（1）求 $x$的取值范围；

（2）数轴上表示数 $-x+2$的点应落在　　．

$A$．点 $A$的左边           $B$．线段 $\mathit{AB}$上              $C$．点 $B$的右边

如图，数轴上点 $A$表示数 $a$，则 $\left|a\right|$是 $($　　 $)$

A．2B．1C． $-1$D． $-2$

如图，将数轴上 $-6$ 与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为 $a_1$ ， $a_2$ ， $a_3$ ， $a_4$ ， $a_5$ ，则下列正确的是 $($ 　　 $)$

A．	$a_3>0$	B．	$\left|a_1\right|=\left|a_4\right|$
C．	$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$	D．	$a_2+a_5<0$

如图，点 $A$所表示的数的绝对值是 $($　　 $)$

A．3B． $-3$C． $\frac{1}{3}$D． $-\frac{1}{3}$

我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 $|x-2|$的几何意义是数轴上 $x$所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为 $|x+1|=|x-(-1\left)\right|$，所以 $|x+1|$的几何意义就是数轴上 $x$所对应的点与 $-1$所对应的点之间的距离．

（1）发现问题：代数式 $|x+1|+|x-2|$的最小值是多少？

（2）探究问题：如图，点 $A$、 $B$、 $P$分别表示数 $-1$、2、 $x$， $\mathit{AB}=3$．

$\because |x+1|+|x-2|$的几何意义是线段 $\mathit{PA}$与 $\mathit{PB}$的长度之和，

$\therefore$当点 $P$在线段 $\mathit{AB}$上时， $\mathit{PA}+\mathit{PB}=3$，当点 $P$在点 $A$的左侧或点 $B$的右侧时， $\mathit{PA}+\mathit{PB}>3$．

$\therefore |x+1|+|x-2|$的最小值是3．

（3）解决问题：

① $|x-4|+|x+2|$的最小值是　　；

②利用上述思想方法解不等式： $|x+3|+|x-1|>4$；

③当 $a$为何值时，代数式 $|x+a|+|x-3|$的最小值是2．

实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 在数轴上对应点的位置如图所示．如果 $a+b=0$ ，那么下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

A．

$\left|a\right|>\left|c\right|$

B．

$a+c<0$

C．

$\mathit{abc}<0$

D．

$\frac{a}{b}=1$

数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究一：求不等式 $|x-1|<2$的解集

（1）探究 $|x-1|$的几何意义

如图①，在以 $O$为原点的数轴上，设点 $A\text{'}$对应的数是 $x-1$，由绝对值的定义可知，点 $A\text{'}$与点 $O$的距离为 $|x-1|$，可记为 $A\text{'}O=|x-1|$．将线段 $A\text{'}O$向右平移1个单位得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$对应的数是 $x$，点 $B$对应的数是1．因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=|x-1|$．因此， $|x-1|$的几何意义可以理解为数轴上 $x$所对应的点 $A$与1所对应的点 $B$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（2）求方程 $|x-1|=2$的解

因为数轴上3和 $-1$所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3， $-1$．

（3）求不等式 $|x-1|<2$的解集

因为 $|x-1|$表示数轴上 $x$所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 $x$的范围．

请在图②的数轴上表示 $|x-1|<2$的解集，并写出这个解集．

探究二：探究 $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义

（1）探究 $\sqrt{x^2+y^2}$的几何意义

如图③，在直角坐标系中，设点 $M$的坐标为 $(x,y)$，过 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于 $P$，作 $\mathit{MQ}\perp y$轴于 $Q$，则 $P$点坐标为 $(x,0)$， $Q$点坐标为 $(0,y)$， $\mathit{OP}=\left|x\right|$， $\mathit{OQ}=\left|y\right|$，在 $\text{Rt}\Delta \text{OPM}$中， $\mathit{PM}=\mathit{OQ}=\left|y\right|$，则 $\mathit{MO}=\sqrt{O{P}^2+P{M}^2}=\sqrt{|x{|}^2+|y{|}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$，因此， $\sqrt{x^2+y^2}$ 的几何意义可以理解为点 $M(x,y)$与点 $O(0,0)$之间的距离 $\mathit{MO}$．

（2）探究 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义

如图④，在直角坐标系中，设点 $A\text{'}$的坐标为 $(x-1,y-5)$，由探究二（1）可知， $A\text{'}O=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，将线段 $A\text{'}O$先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$的坐标为 $(x,y)$，点 $B$的坐标为 $(1,5)$，因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，因此 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义可以理解为点 $A(x,y)$与点 $B(1,5)$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（3）探究 $\sqrt{{(x+3)}^2+{(y-4)}^2}$的几何意义

请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．

（4） $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义可以理解为：　　．

拓展应用：

（1） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的几何意义可以理解为：点 $A(x,y)$与点 $E(2,-1)$的距离和点 $A(x,y)$与点 $F$　　（填写坐标）的距离之和．

（2） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的最小值为　　（直接写出结果）

如图，数轴上点 $A$对应的数是 $\frac{3}{2}$，将点 $A$沿数轴向左移动2个单位至点 $B$，则点 $B$对应的数是 $($　　 $)$

A． $-\frac{1}{2}$B． $-2$C． $\frac{7}{2}$D． $\frac{1}{2}$

如图，数轴上点 $A$表示的数是 $($　　 $)$

A． $-1$B．0C．1D．2

如图，有理数 $a$， $b$， $c$， $d$在数轴上的对应点分别是 $A$， $B$， $C$， $D$，若 $a+c=0$，则 $b+d($　　 $)$

A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定