初中数学规律型：图形的变化类填空题

如图， $\mathit{\Delta OAB}$中， $\angle \mathit{OAB}=90°$， $\mathit{OA}=\mathit{AB}=1$．以 $\mathit{OB}$为直角边向外作等腰直角三角形 $\mathit{OB}{B}_1$，以 $O{B}_1$为直角边向外作等腰直角三角形 $O{B}_1{B}_2$，以 $O{B}_2$为直角边向外作等腰直角三角形 $O{B}_2{B}_3$， $\dots$，连接 $A{B}_1$， $B{B}_2$， $B_1{B}_3$， $\dots$，分别与 $\mathit{OB}$， $O{B}_1$， $O{B}_2$， $\dots$交于点 $C_1$， $C_2$， $C_3$， $\dots$，按此规律继续下去， $\mathit{\Delta AB}{C}_1$的面积记为 $S_1$，△ $B{B}_1{C}_2$的面积记为 $S_2$，△ $B_1{B}_2{C}_3$的面积记为 $S_3$， $\dots$，则 $S_{2017}=$　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{AC}=4$，若进行以下操作，在边 $\mathit{BC}$上从左到右依次取点 $D_1$、 $D_2$、 $D_3$、 $D_4$、 $\dots$；过点 $D_1$作 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的平行线分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$于点 $E_1$、 $F_1$；过点 $D_2$作 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的平行线分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$于点 $E_2$、 $F_2$；过点 $D_3$作 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的平行线分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$于点 $E_3$、 $F_3\dots$，则 $4(D_1{E}_1+D_2{E}_2+\dots +D_{2019}{E}_{2019})+5(D_1{F}_1+D_2{F}_2+\dots +D_{2019}{F}_{2019})=$　        　．

如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为　　．

海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有　　个菱形，第 $n$个图中有　　个菱形（用含 $n$的代数式表示）．

如图，在△ $A_1{C}_{1}O$中， $A_1{C}_1=A_{1}O=2$， $\angle A_{1}O{C}_1=30°$，过点 $A_1$作 $A_1{C}_2\perp O{C}_1$，垂足为点 $C_2$，过点 $C_2$作 $C_2{A}_2//C_1{A}_1$交 $O{A}_1$于点 $A_2$，得到△ $A_2{C}_2{C}_1$；过点 $A_2$作 $A_2{C}_3\perp O{C}_1$，垂足为点 $C_3$，过点 $C_3$作 $C_3{A}_3//C_1{A}_1$交 $O{A}_1$于点 $A_3$，得到△ $A_3{C}_3{C}_2$；过点 $A_3$作 $A_3{C}_4\perp O{C}_1$，垂足为点 $C_4$，过点 $C_4$作 $C_4{A}_4//C_1{A}_1$交 $O{A}_1$于点 $A_4$，得到△ $A_4{C}_4{C}_3$； $\dots \dots$按照上面的作法进行下去，则△ $A_{n+1}{C}_{n+1}{C}_n$的面积为　　．（用含正整数 $n$的代数式表示）

如图，四边形 $\mathit{OA}{A}_1{B}_1$是边长为1的正方形，以对角线 $O{A}_1$为边作第二个正方形 $O{A}_1{A}_2{B}_2$．连接 $A{A}_2$，得到△ $A{A}_1{A}_2$；再以对角线 $O{A}_2$为边作第三个正方形 $O{A}_2{A}_3{B}_3$，连接 $A_1{A}_3$，得到△ $A_1{A}_2{A}_3$；再以对角线 $O{A}_3$为边作第四个正方形，连接 $A_2{A}_4$，得到△ $A_2{A}_3{A}_4\dots \dots$记△ $A{A}_1{A}_2$、△ $A_1{A}_2{A}_3$、△ $A_2{A}_3{A}_4$的面积分别为 $S_1$、 $S_2$、 $S_3$，如此下去，则 $S_n=$　　．

如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第 $n$个图案中这样的正方形的总个数可用含 $n$的代数式表示为　       　．

下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒， $\dots$，按此规律，图案⑦需　　根火柴棒．

如图，直线 $l_1$的解析式是 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，直线 $l_2$的解析式是 $y=\sqrt{3}x$，点 $A_1$在 $l_1$上， $A_1$的横坐标为 $\frac{3}{2}$，作 $A_1{B}_1\perp l_1$交 $l_2$于点 $B_1$，点 $B_2$在 $l_2$上，以 $B_1{A}_1$， $B_1{B}_2$为邻边在直线 $l_1$， $l_2$间作菱形 $A_1{B}_1{B}_2{C}_1$，分别以点 $A_1$， $B_2$为圆心，以 $A_1{B}_1$为半径画弧得扇形 $B_1{A}_1{C}_1$和扇形 $B_1{B}_2{C}_1$，记扇形 $B_1{A}_1{C}_1$与扇形 $B_1{B}_2{C}_1$重叠部分的面积为 $S_1$；延长 $B_2{C}_1$交 $l_1$于点 $A_2$，点 $B_3$在 $l_2$上，以 $B_2{A}_2$， $B_2{B}_3$为邻边在 $l_1$， $l_2$间作菱形 $A_2{B}_2{B}_3{C}_2$，分别以点 $A_2$， $B_3$为圆心，以 $A_2{B}_2$为半径画弧得扇形 $B_2{A}_2{C}_2$和扇形 $B_2{B}_3{C}_2$，记扇形 $B_2{A}_2{C}_2$与扇形 $B_2{B}_3{C}_2$重叠部分的面积为 $S_2\dots \dots \dots$按照此规律继续作下去，则 $S_n=$　　．（用含有正整数 $n$的式子表示）

将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆 $\dots$按此规律排列下去，则前50行共有圆　　个．

下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第   

　　个图形共有210个小球．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，曲线 $D{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{A}_2\dots$是由一段段90度的弧组成的．其中： $\stackrel{̂}{D{A}_1}$的圆心为点 $A$，半径为 $\mathit{AD}$； $\stackrel{̂}{A_1{B}_1}$的圆心为点 $B$，半径为 $B{A}_1$； $\stackrel{̂}{B_1{C}_1}$的圆心为点 $C$，半径为 $C{B}_1$； $\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$的圆心为点 $D$，半径为 $D{C}_1$； $\dots \stackrel{̂}{D{A}_1},\stackrel{̂}{A_1{B}_1},\stackrel{̂}{B_1{C}_1},\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$， $\dots$的圆心依次按点 $A$， $B$， $C$， $D$循环．若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，则 $\stackrel{̂}{A_{2020}{B}_{2020}}$的长是　　．

如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有　　个黑色棋子．

庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言） $:1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots +\frac{1}{2^n}+\dots$．

图2也是一种无限分割：在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle B=30°$，过点 $C$作 $C{C}_1\perp \mathit{AB}$于点 $C_1$，再过点 $C_1$作 $C_1{C}_2\perp \mathit{BC}$于点 $C_2$，又过点 $C_2$作 $C_2{C}_3\perp \mathit{AB}$于点 $C_3$，如此无限继续下去，则可将利 $\mathit{\Delta ABC}$分割成 $\mathit{\Delta AC}{C}_1$、△ $C{C}_1{C}_2$、△ $C_1{C}_2{C}_3$、△ $C_2{C}_3{C}_4$、 $\dots$、△ $C_{n-2}{C}_{n-1}{C}_n$、 $\dots$．假设 $\mathit{AC}=2$，这些三角形的面积和可以得到一个等式是　　．

如图，边长为1的正三角形 $\mathit{ABC}$放置在边长为2的正方形内部，顶点 $A$在正方形的一个顶点上，边 $\mathit{AB}$在正方形的一边上，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $B$顺时针旋转，当点 $C$落在正方形的边上时，完成第1次无滑动滚动（如图 $1)$；再将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转，当点 $A$落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动（如图 $2)$， $\dots$，每次旋转的角度都不大于 $120°$，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点 $A$经过的路径总长为　　．