初中数学规律型：图形的变化类填空题

如图， $\angle \mathit{MON}=30°$，点 $B_1$在边 $\mathit{OM}$上，且 $O{B}_1=2$，过点 $B_1$作 $B_1{A}_1\perp \mathit{OM}$交 $\mathit{ON}$于点 $A_1$，以 $A_1{B}_1$为边在 $A_1{B}_1$右侧作等边三角形 $A_1{B}_1{C}_1$；过点 $C_1$作 $\mathit{OM}$的垂线分别交 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$于点 $B_2$、 $A_2$，以 $A_2{B}_2$为边在 $A_2{B}_2$的右侧作等边三角形 $A_2{B}_2{C}_2$；过点 $C_2$作 $\mathit{OM}$的垂线分别交 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$于点 $B_3$、 $A_3$，以 $A_3{B}_3$为边在 $A_3{B}_3$的右侧作等边三角形 $A_3{B}_3{C}_3$， $\dots$；按此规律进行下去，则△ $A_n{A}_{n+1}{C}_n$的面积为　　．（用含正整数 $n$的代数式表示）

下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m为      ，第n个正方形的中间数字为        ．（用含n的代数式表示）

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长是2，以 $\mathit{BC}$边上的高 $A{B}_1$为边作等边三角形，得到第一个等边△ $A{B}_1{C}_1$；再以等边△ $A{B}_1{C}_1$的 $B_1{C}_1$边上的高 $A{B}_2$为边作等边三角形，得到第二个等边△ $A{B}_2{C}_2$；再以等边△ $A{B}_2{C}_2$的 $B_2{C}_2$边上的高 $A{B}_3$为边作等边三角形，得到第三个等边△ $A{B}_3{C}_3$； $\dots \dots$．记△ $B_{1}C{B}_2$面积为 $S_1$，△ $B_2{C}_1{B}_3$面积为 $S_2$，△ $B_3{C}_2{B}_4$面积为 $S_3$，则 $S_n=$　　．

用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子      枚．（用含n的代数式表示）

每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为　　．

用黑白两色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：则第个图案中有白色纸片         张．

已知直线 $l_1:y=(k-1)x+k+1$和直线 $l_2:y=\mathit{kx}+k+2$，其中 $k$为不小于2的自然数．

（1）当 $k=2$时，直线 $l_1$、 $l_2$与 $x$轴围成的三角形的面积 $S_2=$　　；

（2）当 $k=2$、3、4， $\dots \dots$，2018时，设直线 $l_1$、 $l_2$与 $x$轴围成的三角形的面积分别为 $S_2$， $S_3$， $S_4$， $\dots \dots$， $S_{2018}$，则 $S_2+S_3+S_4+\dots \dots +S_{2018}=$　　．

两条有公共端点的射线组成了一个角；三条具有公共端点而又不重合的射线组成三个角；四条这样的射线组成了6个角，那么n条这样的射线组成了          个角．

观察下列砌钢管的横截面图：

则第 $n$个图的钢管数是　　（用含 $n$的式子表示）

下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第   

　　个图形共有210个小球．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，曲线 $D{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{A}_2\dots$是由一段段90度的弧组成的．其中： $\stackrel{̂}{D{A}_1}$的圆心为点 $A$，半径为 $\mathit{AD}$； $\stackrel{̂}{A_1{B}_1}$的圆心为点 $B$，半径为 $B{A}_1$； $\stackrel{̂}{B_1{C}_1}$的圆心为点 $C$，半径为 $C{B}_1$； $\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$的圆心为点 $D$，半径为 $D{C}_1$； $\dots \stackrel{̂}{D{A}_1},\stackrel{̂}{A_1{B}_1},\stackrel{̂}{B_1{C}_1},\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$， $\dots$的圆心依次按点 $A$， $B$， $C$， $D$循环．若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，则 $\stackrel{̂}{A_{2020}{B}_{2020}}$的长是　　．

如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有　　个黑色棋子．

庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言） $:1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots +\frac{1}{2^n}+\dots$．

图2也是一种无限分割：在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle B=30°$，过点 $C$作 $C{C}_1\perp \mathit{AB}$于点 $C_1$，再过点 $C_1$作 $C_1{C}_2\perp \mathit{BC}$于点 $C_2$，又过点 $C_2$作 $C_2{C}_3\perp \mathit{AB}$于点 $C_3$，如此无限继续下去，则可将利 $\mathit{\Delta ABC}$分割成 $\mathit{\Delta AC}{C}_1$、△ $C{C}_1{C}_2$、△ $C_1{C}_2{C}_3$、△ $C_2{C}_3{C}_4$、 $\dots$、△ $C_{n-2}{C}_{n-1}{C}_n$、 $\dots$．假设 $\mathit{AC}=2$，这些三角形的面积和可以得到一个等式是　　．

如图，边长为1的正三角形 $\mathit{ABC}$放置在边长为2的正方形内部，顶点 $A$在正方形的一个顶点上，边 $\mathit{AB}$在正方形的一边上，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $B$顺时针旋转，当点 $C$落在正方形的边上时，完成第1次无滑动滚动（如图 $1)$；再将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转，当点 $A$落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动（如图 $2)$， $\dots$，每次旋转的角度都不大于 $120°$，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点 $A$经过的路径总长为　　．

用m根火柴棒恰好可拼成如图1所示的a个等边三角形或如图2所示的b个正六边形，则 $\frac{b}{a}$＝　　．