初中数学反比例函数的应用试题

电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 $R_1$ ， $R_1$ 与踏板上人的质量 $m$ 之间的函数关系式为 $R_1=\mathit{km}+b$ （其中 $k$ ， $b$ 为常数， $0⩽m⩽120)$ ，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻 $R_0$ 的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为 $U_0$ ，该读数可以换算为人的质量 $m$ ，

温馨提示：①导体两端的电压 $U$ ，导体的电阻 $R$ ，通过导体的电流 $I$ ，满足关系式 $I=\frac{U}{R}$ ；

②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压

（1）求 $k$ ， $b$ 的值；

（2）求 $R_1$ 关于 $U_0$ 的函数解析式；

（3）用含 $U_0$ 的代数式表示 $m$ ；

（4）若电压表量程为 $0~6$ 伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．

已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 $I$ （单位： $A)$ 与电阻 $R$ （单位： $\Omega )$ 是反比例函数关系，它的图象如图所示。下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

A．	函数解析式为 $I=\frac{13}{R}$	B．	蓄电池的电压是 $18V$
C．	当 $I⩽10A$ 时， $R⩾3.6\Omega$	D．	当 $R=6\Omega$ 时， $I=4A$

通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标 $y$ 随时间 $x$ （分钟）变化的函数图象如图所示，当 $0⩽x<10$ 和 $10⩽x<20$ 时，图象是线段；当 $20⩽x⩽45$ 时，图象是反比例函数的一部分．

（1）求点 $A$ 对应的指标值；

（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．

如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算 $32\mathit{mg}$ 镭缩减为 $1\mathit{mg}$ 所用的时间大约是 $($ 　　 $)$

A．

4860年

B．

6480年

C．

8100年

D．

9720年

某气球内充满了一定质量 $m$ 的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 $p$ （单位： $\mathit{kPa})$ 是气体体积 $V$ （单位： $m^3)$ 的反比例函数： $p=\frac{m}{V}$ ，能够反映两个变量 $p$ 和 $V$ 函数关系的图象是 $($ 　　 $)$

A．		B．
C．		D．

数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．

猜想发现

由 $5+5=2\sqrt{5\times 5}=10$； $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=2\sqrt{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}=\frac{2}{3}$； $0.4+0.4=2\sqrt{0.4\times 0.4}=0.8$； $\frac{1}{5}+5>2\sqrt{\frac{1}{5}\times 5}=2$； $0.2+3.2>2\sqrt{0.2\times 3.2}=1.6$； $\frac{1}{2}+\frac{1}{8}>2\sqrt{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$．

猜想：如果 $a>0$， $b>0$，那么存在 $a+b⩾2\sqrt{\mathit{ab}}$（当且仅当 $a=b$时等号成立）．

猜想证明

$\because {(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2⩾0$，

$\therefore$①当且仅当 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$，即 $a=b$时， $a-2\sqrt{\mathit{ab}}+b=0$， $\therefore a+b=2\sqrt{\mathit{ab}}$；

②当 $\sqrt{a}-\sqrt{b}\ne 0$，即 $a\ne b$时， $a-2\sqrt{\mathit{ab}}+b>0$， $\therefore a+b>2\sqrt{\mathit{ab}}$．

综合上述可得：若 $a>0$， $b>0$，则 $a+b⩾2\sqrt{\mathit{ab}}$成立（当且仅当 $a=b$时等号成立）．

猜想运用

对于函数 $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$，当 $x$取何值时，函数 $y$的值最小？最小值是多少？

变式探究

对于函数 $y=\frac{1}{x-3}+x(x>3)$，当 $x$取何值时，函数 $y$的值最小？最小值是多少？

拓展应用

疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为 $S$（米 ${}^2)$．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 $S$最大？最大面积是多少？

已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 $I$ （单位： $A)$ 与电阻 $R$ （单位： $\Omega )$ 是反比例函数关系．当 $R=4\Omega$ 时， $I=9A$ ．

（1）写出 $I$ 关于 $R$ 的函数解析式；

（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；

$R/\Omega$	$\dots$									$\dots$
$I/A$	$\dots$									$\dots$

（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 $10A$ ，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{BC}$ 边的长为 $x$ ， $\mathit{BC}$ 边上的高为 $y$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为2．

（1） $y$ 关于 $x$ 的函数关系式是 　    　， $x$ 的取值范围是 　　；

（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；

（3）将直线 $y=-x+3$ 向上平移 $a(a>0)$ 个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时 $a$ 的值．

小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间 $y$（单位：秒）与训练次数 $x$（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）当 $x$的值为6，8，10时，对应的函数值分别为 $y_1$， $y_2$， $y_3$，比较 $(y_1-y_2)$与 $(y_2-y_3)$的大小： $y_1-y_2$　 $>$　 $y_2-y_3$．

为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要 $19\mathit{min}$；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要 $11\mathit{min}$．

（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？

（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度 $y$（单位： $\mathit{mg}/m^3)$与时间 $x$（单位： $\mathit{min})$的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时 $y$与 $x$的函数关系式为 $y=2x$，药物喷洒完成后 $y$与 $x$成反比例函数关系，两个函数图象的交点为 $A(m,n)$．当教室空气中的药物浓度不高于 $1\mathit{mg}/m^3$时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．

已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为 $v$（单位：吨 $/$小时），卸完这批货物所需的时间为 $t$（单位：小时）．

（1）求 $v$关于 $t$的函数表达式．

（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？

丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为 $t$小时，平均速度为 $v$千米 $/$小时（汽车行驶速度不超过100千米 $/$小时）．根据经验， $v$， $t$的一组对应值如下表：

$v$（千米 $/$小时）	75	80	85	90	95
$t$（小时）	4.00	3.75	3.53	3.33	3.16

（1）根据表中的数据，求出平均速度 $v$（千米 $/$小时）关于行驶时间 $t$（小时）的函数表达式；

（2）汽车上午 $7:30$从丽水出发，能否在上午 $10:00$之前到达杭州市场？请说明理由；

（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间 $t$满足 $3.5⩽t⩽4$，求平均速度 $v$的取值范围．

在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．

（1）设矩形的相邻两边长分别为 $x$， $y$．

①求 $y$关于 $x$的函数表达式；

②当 $y⩾3$时，求 $x$的取值范围；

（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{DH}$垂直平分 $\mathit{AC}$，点 $H$为垂足．设 $\mathit{AB}=x$， $\mathit{AD}=y$，则 $y$关于 $x$的函数关系用图象大致可以表示为 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．

（1）求鱼塘的长 $y$（米 $)$关于宽 $x$（米 $)$的函数表达式；

（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？