初中数学二次函数的性质试题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为1的正方形，点 $E$ 是射线 $\mathit{AB}$ 上的动点（点 $E$ 不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），点 $F$ 在线段 $\mathit{DA}$ 的延长线上，且 $\mathit{AF}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{ED}$ ，将 $\mathit{ED}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90°$ 得到 $\mathit{EG}$ ，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{FB}$ ， $\mathit{BG}$ ．设 $\mathit{AE}=x$ ，四边形 $\mathit{EFBG}$ 的面积为 $y$ ，下列图象能正确反映出 $y$ 与 $x$ 的函数关系的是 $($ 　　 $)$

A．		B．
C．		D．

已知二次函数 $y=-x^2+2x+4$ ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是 $($ 　　 $)$

A．	图象的开口向上	B．	图象的顶点坐标是 $(1,3)$
C．	当 $x<1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大	D．	图象与 $x$ 轴有唯一交点

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a<0)$ 与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(-1,0)$ ，对称轴是直线 $x=1$ ，其部分图象如图所示，则此抛物线与 $x$ 轴的另一个交点坐标是 $($ 　　 $)$

A．

$(\frac{7}{2}$ ， $0)$

B．

$(3,0)$

C．

$(\frac{5}{2}$ ， $0)$

D．

$(2,0)$

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$的坐标为 $(0,2)$，点 $B$的坐标为 $(4,2)$．若抛物线 $y=-\frac{3}{2}{(x-h)}^2+k(h$、 $k$为常数）与线段 $\mathit{AB}$交于 $C$、 $D$两点，且 $\mathit{CD}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，则 $k$的值为　 　．

二次函数 $y=a{x}^2-3\mathit{ax}+3$ 的图象过点 $A(6,0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $M$ 在该抛物线的对称轴上，若 $\mathit{\Delta ABM}$ 是以 $\mathit{AB}$ 为直角边的直角三角形，则点 $M$ 的坐标为 　

请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为 $y$ 轴： 　 　．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}$ 的图象与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 与该抛物线交于 $B$ 、 $C$ 两点（点 $B$ 位于点 $C$ 左侧），与抛物线对称轴交于点 $D(2,-3)$ ．

（1）求 $b$ 的值；

（2）设 $P$ 、 $Q$ 是 $x$ 轴上的点（点 $P$ 位于点 $Q$ 左侧），四边形 $\mathit{PBCQ}$ 为平行四边形．过点 $P$ 、 $Q$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与抛物线交于点 $P^{\text{'}}(x_1$ ， $y_1)$ 、 $Q^{\text{'}}(x_2$ ， $y_2)$ ．若 $|y_1-y_2|=2$ ，求 $x_1$ 、 $x_2$ 的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过 $A(2,0)$ ， $B(3n-4,y_1)$ ， $C(5n+6,y_2)$ 三点，对称轴是直线 $x=1$ ．关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=x$ 有两个相等的实数根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $n<-5$ ，试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小；

（3）若 $B$ ， $C$ 两点在直线 $x=1$ 的两侧，且 $y_1>y_2$ ，求 $n$ 的取值范围．

下列关于二次函数 $y=-{(x-m)}^2+m^2+1(m$为常数）的结论：①该函数的图象与函数 $y=-x^2$的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 $(0,1)$；③当 $x>0$时， $y$随 $x$的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 $y=x^2+1$的图象上．其中所有正确结论的序号是　 　．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象经过点 $A(4,\frac{3}{2})$，点 $B$在 $y$轴的负半轴上， $\mathit{AB}$交 $x$轴于点 $C$， $C$为线段 $\mathit{AB}$的中点．

（1） $m=$　　，点 $C$的坐标为　　；

（2）若点 $D$为线段 $\mathit{AB}$上的一个动点，过点 $D$作 $\mathit{DE}//y$轴，交反比例函数图象于点 $E$，求 $\mathit{\Delta ODE}$面积的最大值．

二次函数 $y=-x^2-2x+3$的图象的顶点坐标为　 　．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ ，若 $\mathit{ab}<0$ ， $a-b^2>0$ ，点 $A(x_1$ ， $y_1)$ ， $B(x_2$ ， $y_2)$ 在该二次函数的图象上，其中 $x_1<x_2$ ， $x_1+x_2=0$ ，则 $($ 　　 $)$

A．	$y_1=-y_2$	B．	$y_1>y_2$
C．	$y_1<y_2$	D．	$y_1$ 、 $y_2$ 的大小无法确定

我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“ $H$函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“ $H$点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于 $x$的函数中，是“ $H$函数”的，请在相应题目后面的括号中打“ $\surd$”，不是“ $H$函数”的打“ $\times$”．

① $y=2x($　　 $)$；

② $y=\frac{m}{x}(m\ne 0)($　　 $)$；

③ $y=3x-1($　　 $)$．

（2）若点 $A(1,m)$与点 $B(n,-4)$是关于 $x$的“ $H$函数” $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的一对“ $H$点”，且该函数的对称轴始终位于直线 $x=2$的右侧，求 $a$， $b$， $c$的值或取值范围．

（3）若关于 $x$的“ $H$函数” $y=a{x}^2+2\mathit{bx}+3c(a$， $b$， $c$是常数）同时满足下列两个条件：① $a+b+c=0$，② $(2c+b-a)(2c+b+3a)<0$，求该“ $H$函数”截 $x$轴得到的线段长度的取值范围．

在 $-3$， $-2$，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数 $y=a{x}^2+4x-2$中 $a$的值，则该二次函数图象开口向上的概率是　　．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰直角 $\mathit{\Delta ABC}$ 的直角顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，另两个顶点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，且 $\mathit{AB}=4$ ，抛物线经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线 $l$ 交抛物线于 $M$ ， $N$ 两点，如图2所示．

①求 $\mathit{\Delta CMN}$ 面积的最小值．

②已知 $Q(1,-\frac{3}{2})$ 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 $P$ ，使得点 $P$ 与点 $Q$ 关于直线 $l$ 对称，若存在，求出点 $P$ 的坐标及直线 $l$ 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．