初中数学二次函数的性质试题

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2$的图象如图所示．已知 $A$点坐标为 $(1,1)$，过点 $A$作 $A{A}_1//x$轴交抛物线于点 $A_1$，过点 $A_1$作 $A_1{A}_2//\mathit{OA}$交抛物线于点 $A_2$，过点 $A_2$作 $A_2{A}_3//x$轴交抛物线于点 $A_3$，过点 $A_3$作 $A_3{A}_4//\mathit{OA}$交抛物线于点 $A_4\dots \dots$，依次进行下去，则点 $A_{2019}$的坐标为　 　．

规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若 $M$、 $N$的坐标分别为 $(0,1)$， $(0,-1)$， $P$是二次函数 $y=\frac{1}{4}{x}^2$的图象上在第一象限内的任意一点， $\mathit{PQ}$垂直直线 $y=-1$于点 $Q$，则四边形 $\mathit{PMNQ}$是广义菱形．其中正确的是　　．（填序号）

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如表：

$x$	$-1$	0	2	3	4
$y$	5	0	$-4$	$-3$	0

下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线 $x=2$ ；③当 $0<x<4$ 时， $y>0$ ；④抛物线与 $x$ 轴的两个交点间的距离是4；⑤若 $A(x_1$ ， $2)$ ， $B(x_2$ ， $3)$ 是抛物线上两点，则 $x_1<x_2$ ，其中正确的个数是 $($ 　　 $)$

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

如图，直线 $y=x+1$与抛物线 $y=x^2-4x+5$交于 $A$， $B$两点，点 $P$是 $y$轴上的一个动点，当 $\mathit{\Delta PAB}$的周长最小时， $S_{\mathit{\Delta PAB}}=$　　．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+3$ 的对称轴为直线 $x=1$ ．若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+\mathit{bx}+3-t=0(t$ 为实数）在 $-1<x<4$ 的范围内有实数根，则 $t$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A．

$2⩽t<11$

B．

$t⩾2$

C．

$6<t<11$

D．

$2⩽t<6$

在画二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下

$x$	$\dots \dots$	$-1$	0	1	2	3	$\dots \dots$
$y_{甲}$	$\dots \dots$	6	3	2	3	6	$\dots \dots$

乙写错了常数项，列表如下：

$x$	$\dots \dots$	$-1$	0	1	2	3	$\dots \dots$
$y_{乙}$	$\dots \dots$	$-2$	$-1$	2	7	14	$\dots \dots$

通过上述信息，解决以下问题：

（1）求原二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的表达式；

（2）对于二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，当 $x$　 $⩾-1$　时， $y$的值随 $x$的值增大而增大；

（3）若关于 $x$的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=k(a\ne 0)$有两个不相等的实数根，求 $k$的取值范围．

若二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}-5$的对称轴为直线 $x=2$，则关于 $x$的方程 $x^2+\mathit{bx}-5=2x-13$的解为　　．

如图，是二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 图象的一部分，下列结论中：

① $\mathit{abc}>0$ ；② $a-b+c<0$ ；③ $a{x}^2+\mathit{bx}+c+1=0$ 有两个相等的实数根；④ $-4a<b<-2a$ ．其中正确结论的序号为 $($ 　　 $)$

A．

①②

B．

①③

C．

②③

D．

①④

将二次函数 $y=x^2-5x-6$ 在 $x$ 轴上方的图象沿 $x$ 轴翻折到 $x$ 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线 $y=2x+b$ 与这个新图象有3个公共点，则 $b$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$-\frac{73}{4}$ 或 $-12$

B．

$-\frac{73}{4}$ 或2

C．

$-12$ 或2

D．

$-\frac{69}{4}$ 或 $-12$

在下列函数图象上任取不同两点 $P_1(x_1$ ， $y_1)$ 、 $P_2(x_2$ ， $y_2)$ ，一定能使 $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}<0$ 成立的是 $($ 　　 $)$

A．	$y=3x-1(x<0)$	B．	$y=-x^2+2x-1(x>0)$
C．	$y=-\frac{\sqrt{3}}{x}(x>0)$	D．	$y=x^2-4x+1(x<0)$

已知抛物线 $y=x^2-1$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与直线 $y=\mathit{kx}(k$ 为任意实数）相交于 $B$ ， $C$ 两点，则下列结论不正确的是 $($ 　　 $)$

A．	存在实数 $k$ ，使得 $\mathit{\Delta ABC}$ 为等腰三角形
B．	存在实数 $k$ ，使得 $\mathit{\Delta ABC}$ 的内角中有两角分别为 $30°$ 和 $60°$
C．	任意实数 $k$ ，使得 $\mathit{\Delta ABC}$ 都为直角三角形
D．	存在实数 $k$ ，使得 $\mathit{\Delta ABC}$ 为等边三角形

已知函数 $y=\left\{\begin{array}{c}-x^2+2x(x>0)\\ -x(x⩽0)\end{array}\right.$的图象如图所示，若直线 $y=x+m$与该图象恰有三个不同的交点，则 $m$的取值范围为　　．

在平面直角坐标系中，对于二次函数 $y={(x-2)}^2+1$ ，下列说法中错误的是 $($ 　　 $)$

A．	$y$ 的最小值为1
B．	图象顶点坐标为 $(2,1)$ ，对称轴为直线 $x=2$
C．	当 $x<2$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大，当 $x⩾2$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小
D．	它的图象可以由 $y=x^2$ 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

二次函数 $y=x^2-\mathit{ax}+b$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x=2$ ，下列结论不正确的是 $($ 　　 $)$

A．	$a=4$
B．	当 $b=-4$ 时，顶点的坐标为 $(2,-8)$
C．	当 $x=-1$ 时， $b>-5$
D．	当 $x>3$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的对称轴为直线 $x=1$，其图象与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,3)$．

（1）求 $b$， $c$的值；

（2）直线 $l$与 $x$轴相交于点 $P$．

①如图1，若 $l//y$轴，且与线段 $\mathit{AC}$及抛物线分别相交于点 $E$， $F$，点 $C$关于直线 $x=1$的对称点为点 $D$，求四边形 $\mathit{CEDF}$面积的最大值；

②如图2，若直线 $l$与线段 $\mathit{BC}$相交于点 $Q$，当 $\mathit{\Delta PCQ}\backsim \mathit{\Delta CAP}$时，求直线 $l$的表达式．