初中数学二次函数的性质试题

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）， $a>0$ ，顶点坐标为 $(\frac{1}{2}$ ， $m)$ ，给出下列结论：①若点 $(n,y_1)$ 与 $(\frac{3}{2}-2n$ ， $y_2)$ 在该抛物线上，当 $n<\frac{1}{2}$ 时，则 $y_1<y_2$ ；②关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2-\mathit{bx}+c-m+1=0$ 无实数解，那么 $($ 　　 $)$

A．

①正确，②正确

B．

①正确，②错误

C．

①错误，②正确

D．

①错误，②错误

已知二次函数 $y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7$ （其中 $x$ 是自变量）的图象与 $x$ 轴没有公共点，且当 $x<-1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则实数 $a$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A．

$a<2$

B．

$a>-1$

C．

$-1<a⩽2$

D．

$-1⩽a<2$

当 $0⩽x⩽3$时，直线 $y=a$与抛物线 $y={(x-1)}^2-3$有交点，则 $a$的取值范围是　　．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的部分图象如图所示，有以下结论：① $3a-b=0$ ；② $b^2-4\mathit{ac}>0$ ；③ $5a-2b+c>0$ ；④ $4b+3c>0$ ，其中错误结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$过点 $(-1,0)$， $(0,2)$，且顶点在第一象限，设 $M=4a+2b+c$，则 $M$的取值范围是　　．

对于二次函数 $y=x^2-6x+a$ ，在下列几种说法中：①当 $x<2$ 时． $y$ 随 $x$ 的增大而减小；②若函数的图象与 $x$ 轴有交点，则 $a⩾9$ ；③若 $a=8$ ，则二次函数 $y=x^2-6x+a(2<x<4)$ 的图象在 $x$ 轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标

原点旋转 $180°$ ，则旋转后的函数图象的顶点坐标为 $(-3,9-a)$ ，其中正确的个数为 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

如图，抛物线 $y=-x^2+2x+m+1(m$为常数）交 $y$轴于点 $A$，与 $x$轴的一个交点在2和3之间，顶点为 $B$．

①抛物线 $y=-x^2+2x+m+1$与直线 $y=m+2$有且只有一个交点；

②若点 $M(-2,y_1)$、点 $N(\frac{1}{2}$， $y_2)$、点 $P(2,y_3)$在该函数图象上，则 $y_1<y_2<y_3$；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 $y=-{(x+1)}^2+m$；

④点 $A$关于直线 $x=1$的对称点为 $C$，点 $D$、 $E$分别在 $x$轴和 $y$轴上，当 $m=1$时，四边形 $\mathit{BCDE}$周长的最小值为 $\sqrt{34}+\sqrt{2}$．

其中正确判断的序号是　　．

小飞研究二次函数 $y=-{(x-m)}^2-m+1(m$ 为常数）性质时得到如下结论：

①这个函数图象的顶点始终在直线 $y=-x+1$ 上；

②存在一个 $m$ 的值，使得函数图象的顶点与 $x$ 轴的两个交点构成等腰直角三角形；

③点 $A(x_1$ ， $y_1)$ 与点 $B(x_2$ ， $y_2)$ 在函数图象上，若 $x_1<x_2$ ， $x_1+x_2>2m$ ，则 $y_1<y_2$ ；

④当 $-1<x<2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $m$ 的取值范围为 $m⩾2$ ．

其中错误结论的序号是 $($ 　　 $)$

A．

①

B．

②

C．

③

D．

④

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+6$的图象交 $x$轴于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧）

（1）求点 $A$， $B$的坐标，并根据该函数图象写出 $y⩾0$时 $x$的取值范围．

（2）把点 $B$向上平移 $m$个单位得点 $B_1$．若点 $B_1$向左平移 $n$个单位，将与该二次函数图象上的点 $B_2$重合；若点 $B_1$向左平移 $(n+6)$个单位，将与该二次函数图象上的点 $B_3$重合．已知 $m>0$， $n>0$，求 $m$， $n$的值．

已知函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c(b$， $c$为常数）的图象经过点 $(-2,4)$．

（1）求 $b$， $c$满足的关系式；

（2）设该函数图象的顶点坐标是 $(m,n)$，当 $b$的值变化时，求 $n$关于 $m$的函数解析式；

（3）若该函数的图象不经过第三象限，当 $-5⩽x⩽1$时，函数的最大值与最小值之差为16，求 $b$的值．

二次函数 $y={(x-1)}^2+3$ 图象的顶点坐标是 $($ 　　 $)$

A．

$(1,3)$

B．

$(1,-3)$

C．

$(-1,3)$

D．

$(-1,-3)$

如图，已知二次函数 $y=x^2+\mathit{ax}+3$的图象经过点 $P(-2,3)$．

（1）求 $a$的值和图象的顶点坐标．

（2）点 $Q(m,n)$在该二次函数图象上．

①当 $m=2$时，求 $n$的值；

②若点 $Q$到 $y$轴的距离小于2，请根据图象直接写出 $n$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $\mathit{OABC}$的边长为4，边 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$分别在 $x$轴， $y$轴的正半轴上，把正方形 $\mathit{OABC}$的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点 $P$为抛物线 $y=-{(x-m)}^2+m+2$的顶点．

（1）当 $m=0$时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．

（2）当 $m=3$时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点 $P$在正方形 $\mathit{OABC}$内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求 $m$的取值范围．

小飞研究二次函数 $y=-{(x-m)}^2-m+1(m$ 为常数）性质时得到如下结论：

①这个函数图象的顶点始终在直线 $y=-x+1$ 上；

②存在一个 $m$ 的值，使得函数图象的顶点与 $x$ 轴的两个交点构成等腰直角三角形；

③点 $A(x_1$ ， $y_1)$ 与点 $B(x_2$ ， $y_2)$ 在函数图象上，若 $x_1<x_2$ ， $x_1+x_2>2m$ ，则 $y_1<y_2$ ；

④当 $-1<x<2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $m$ 的取值范围为 $m⩾2$ ．

其中错误结论的序号是 $($ 　　 $)$

A．

①

B．

②

C．

③

D．

④

已知抛物线 $y=2x^2-4x+c$与 $x$轴有两个不同的交点．

（1）求 $c$的取值范围；

（2）若抛物线 $y=2x^2-4x+c$经过点 $A(2,m)$和点 $B(3,n)$，试比较 $m$与 $n$的大小，并说明理由．