初中数学二次函数的性质试题

设二次函数 $y=(x-x_1)(x-x_2)(x_1$， $x_2$是实数）．

（1）甲求得当 $x=0$时， $y=0$；当 $x=1$时， $y=0$；乙求得当 $x=\frac{1}{2}$时， $y=-\frac{1}{2}$．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含 $x_1$， $x_2$的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过 $(0,m)$和 $(1,n)$两点 $(m$， $n$是实数），当 $0<x_1<x_2<1$时，求证： $0<\mathit{mn}<\frac{1}{16}$．

抛物线 $y=-3x^2+6x+2$ 的对称轴是 $($ 　　 $)$

A．

直线 $x=2$

B．

直线 $x=-2$

C．

直线 $x=1$

D．

直线 $x=-1$

已知 $k$是常数，抛物线 $y=x^2+(k^2+k-6)x+3k$的对称轴是 $y$轴，并且与 $x$轴有两个交点．

（1）求 $k$的值；

（2）若点 $P$在物线 $y=x^2+(k^2+k-6)x+3k$上，且 $P$到 $y$轴的距离是2，求点 $P$的坐标．

抛物线 $y=-x^2+2x+8$的顶点坐标是　　．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a\ne 0)$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表：

$x$	$\dots$	$-2$	$-1$	0	1	2	$\dots$
$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$	$\dots$	$t$	$m$	$-2$	$-2$	$n$	$\dots$

且当 $x=-\frac{1}{2}$ 时，与其对应的函数值 $y>0$ ．有下列结论：

① $\mathit{abc}>0$ ；② $-2$ 和3是关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=t$ 的两个根；③ $0<m+n<\frac{20}{3}$ ．

其中，正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a\ne 0)$ 经过点 $(-1,0)$ ， $(0,3)$ ，其对称轴在 $y$ 轴右侧．有下列结论：

①抛物线经过点 $(1,0)$ ；

②方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=2$ 有两个不相等的实数根；

③ $-3<a+b<3$

其中，正确结论的个数为 $($ 　　 $)$

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

已知二次函数 $y={(x-h)}^2+1(h$ 为常数），在自变量 $x$ 的值满足 $1⩽x⩽3$ 的情况下，与其对应的函数值 $y$ 的最小值为5，则 $h$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

1或 $-5$

B．

$-1$ 或5

C．

1或 $-3$

D．

1或3

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中（如图），已知抛物线 $y=x^2-2x$，其顶点为 $A$．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 $A$的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线 $y=x^2-2x$的“不动点”的坐标；

②平移抛物线 $y=x^2-2x$，使所得新抛物线的顶点 $B$是该抛物线的“不动点”，其对称轴与 $x$轴交于点 $C$，且四边形 $\mathit{OABC}$是梯形，求新抛物线的表达式．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中（如图）．已知抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-1,0)$和点 $B(0,\frac{5}{2})$，顶点为 $C$，点 $D$在其对称轴上且位于点 $C$下方，将线段 $\mathit{DC}$绕点 $D$按顺时针方向旋转 $90°$，点 $C$落在抛物线上的点 $P$处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段 $\mathit{CD}$的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点 $C$移到原点 $O$的位置，这时点 $P$落在点 $E$的位置，如果点 $M$在 $y$轴上，且以 $O$、 $D$、 $E$、 $M$为顶点的四边形面积为8，求点 $M$的坐标．

下列对二次函数 $y=x^2-x$ 的图象的描述，正确的是 $($ 　　 $)$

A．	开口向下	B．	对称轴是 $y$ 轴
C．	经过原点	D．	在对称轴右侧部分是下降的

已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为 $(0$， $-1)$，那么这个二次函数的解析式可以是　　．（只需写一个）

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5(a\ne 0)$ 经过点 $A(4,-5)$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=5\mathit{OB}$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{DA}$ ，求四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积；

（3）如果点 $E$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\angle \mathit{BEO}=\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $E$ 的坐标．

在平面直角坐标系中，将抛物线 $y=x^2-(a-2)x+a^2-1$ 向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与 $y$ 轴的交点为 $A(0,3)$ ，则平移后的抛物线的对称轴为 $($ 　　 $)$

A．

$x=-1$

B．

$x=1$

C．

$x=-2$

D．

$x=2$

已知抛物线 $L:y=x^2+x-6$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），并与 $y$轴相交于点 $C$．

（1）求 $A$、 $B$、 $C$三点的坐标，并求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）将抛物线 $L$向左或向右平移，得到抛物线 $L\text{'}$，且 $L\text{'}$与 $x$轴相交于 $A^{\text{'}}$、 $B\text{'}$两点（点 $A\text{'}$在点 $B\text{'}$的左侧），并与 $y$轴相交于点 $C\text{'}$，要使△ $A^{\text{'}}B\text{'}C\text{'}$和 $\mathit{\Delta ABC}$的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

对于抛物线 $y=a{x}^2+(2a-1)x+a-3$ ，当 $x=1$ 时， $y>0$ ，则这条抛物线的顶点一定在 $($ 　　 $)$

A．

第一象限

B．

第二象限

C．

第三象限

D．

第四象限