初中数学二次函数的性质试题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交过点 $A$ 且平行于 $x$ 轴的直线于另一点 $B$ ，交 $x$ 轴于 $C$ ， $D$ 两点（点 $C$ 在点 $D$ 右边），对称轴为直线 $x=\frac{5}{2}$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ ．若点 $B$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点恰好落在线段 $\mathit{OC}$ 上，下列结论中错误的是 $($ 　　 $)$

A．	点 $B$ 坐标为 $(5,4)$	B．	$\mathit{AB}=\mathit{AD}$
C．	$a=-\frac{1}{6}$	D．	$\mathit{OC}·\mathit{OD}=16$

把二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$ 的图象作关于 $x$ 轴的对称变换，所得图象的解析式为 $y=-a{(x-1)}^2+4a$ ，若 $(m-1)a+b+c⩽0$ ，则 $m$ 的最大值是 $($ 　　 $)$

A．

$-4$

B．

0

C．

2

D．

6

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的对称轴是 $x=1$ ，下列结论：

① $\mathit{abc}>0$ ；② $b^2-4\mathit{ac}>0$ ；③ $8a+c<0$ ；④ $5a+b+2c>0$ ，

正确的有 $($ 　　 $)$

A．

4个

B．

3个

C．

2个

D．

1个

已知点 $A(-1,m)$ ， $B(1,m)$ ， $C(2$ ， $m-n\left)\right(n>0)$ 在同一个函数的图象上，这个函数可能是 $($ 　　 $)$

A．

$y=x$

B．

$y=-\frac{2}{x}$

C．

$y=x^2$

D．

$y=-x^2$

若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$图象的顶点在一次函数 $y=\mathit{kx}+t(k\ne 0)$的图象上，则称 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$为 $y=\mathit{kx}+t(k\ne 0)$的伴随函数，如： $y=x^2+1$是 $y=x+1$的伴随函数．

（1）若 $y=x^2-4$是 $y=-x+p$的伴随函数，求直线 $y=-x+p$与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数 $y=\mathit{mx}-3(m\ne 0)$的伴随函数 $y=x^2+2x+n$与 $x$轴两个交点间的距离为4，求 $m$， $n$的值．

二次函数 $y=-2x^2-4x+5$的最大值是　　．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$， $b$， $c$为常数）的顶点为 $P$，且抛物线经过点 $A(-1,0)$， $B(m,0)$， $C(-2$， $n\left)\right(1<m<3$， $n<0)$，下列结论：

① $\mathit{abc}>0$，

② $3a+c<0$，

③ $a(m-1)+2b>0$，

④ $a=-1$时，存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PAB}$为直角三角形．

其中正确结论的序号为　　．

抛物线 $y=-x^2+4x-4$ 与坐标轴的交点个数为 $($ 　　 $)$

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的对称轴是直线 $x=-1$ ，且过点 $(1,0)$ ．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：

① $\mathit{ab}>0$ 且 $c<0$ ；

② $4a-2b+c>0$ ；

③ $8a+c>0$ ；

④ $c=3a-3b$ ；

⑤直线 $y=2x+2$ 与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 两个交点的横坐标分别为 $x_1$ ， $x_2$ ，则 $x_1+x_2+x_1{x}_2=5$ ．

其中正确的个数有 $($ 　　 $)$

A．

5个

B．

4个

C．

3个

D．

2个

若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$ 的图象开口向下，则 $a$　　0（填" $=$ "或" $>$ "或" $<$ " $)$ ．

已知抛物线 $y=-2x^2+(b-2)x+(c-2020)(b$， $c$为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为 $(1,1)$，求 $b$， $c$的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 $c$的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数 $m$， $n(m<n)$，当 $m⩽x⩽n$时，恰好 $\frac{m}{2m+1}⩽\frac{1}{y+2}⩽\frac{n}{2n+1}$，求 $m$， $n$的值．

如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

下列函数中， $y$ 总随 $x$ 的增大而减小的是 $($ 　　 $)$

A．

$y=4x$

B．

$y=-4x$

C．

$y=x-4$

D．

$y=x^2$

如图一，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,\sqrt{3})$三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2） $P(x_1$， $y_1)$、 $Q(4,y_2)$两点均在该抛物线上，若 $y_1⩾y_2$，求 $P$点横坐标 $x_1$的取值范围；

（3）如图二，过点 $C$作 $x$轴的平行线交抛物线于点 $E$，该抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $D$，连结 $\mathit{CD}$、 $\mathit{CB}$，点 $F$为线段 $\mathit{CB}$的中点，点 $M$、 $N$分别为直线 $\mathit{CD}$和 $\mathit{CE}$上的动点，求 $\mathit{\Delta FMN}$周长的最小值．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $N$，以 $\mathit{AB}$为边在 $x$轴上方作正方形 $\mathit{ABCD}$，点 $P$是 $x$轴上一动点，连接 $\mathit{CP}$，过点 $P$作 $\mathit{CP}$的垂线与 $y$轴交于点 $E$．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点 $P$在线段 $\mathit{OB}$（点 $P$不与 $O$、 $B$重合）上运动至何处时，线段 $\mathit{OE}$的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点 $M$，连接 $\mathit{MN}$、 $\mathit{MB}$．请问： $\mathit{\Delta MBN}$的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．