初中数学二次函数的性质试题

如图1和图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BC}=8$， $\tan C=\frac{3}{4}$．点 $K$在 $\mathit{AC}$边上，点 $M$， $N$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{CN}=2$．点 $P$从点 $M$出发沿折线 $\mathit{MB}-\mathit{BN}$匀速移动，到达点 $N$时停止；而点 $Q$在 $\mathit{AC}$边上随 $P$移动，且始终保持 $\angle \mathit{APQ}=\angle B$．

（1）当点 $P$在 $\mathit{BC}$上时，求点 $P$与点 $A$的最短距离；

（2）若点 $P$在 $\mathit{MB}$上，且 $\mathit{PQ}$将 $\mathit{\Delta ABC}$的面积分成上下 $4:5$两部分时，求 $\mathit{MP}$的长；

（3）设点 $P$移动的路程为 $x$，当 $0⩽x⩽3$及 $3⩽x⩽9$时，分别求点 $P$到直线 $\mathit{AC}$的距离（用含 $x$的式子表示）；

（4）在点 $P$处设计并安装一扫描器，按定角 $\angle \mathit{APQ}$扫描 $\mathit{\Delta APQ}$区域（含边界），扫描器随点 $P$从 $M$到 $B$再到 $N$共用时36秒．若 $\mathit{AK}=\frac{9}{4}$，请直接写出点 $K$被扫描到的总时长．

如图，若 $b$是正数，直线 $l:y=b$与 $y$轴交于点 $A$；直线 $a:y=x-b$与 $y$轴交于点 $B$；抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}$的顶点为 $C$，且 $L$与 $x$轴右交点为 $D$．

（1）若 $\mathit{AB}=8$，求 $b$的值，并求此时 $L$的对称轴与 $a$的交点坐标；

（2）当点 $C$在 $l$下方时，求点 $C$与 $l$距离的最大值；

（3）设 $x_0\ne 0$，点 $(x_0$， $y_1)$， $(x_0$， $y_2)$， $(x_0$， $y_3)$分别在 $l$， $a$和 $L$上，且 $y_3$是 $y_1$， $y_2$的平均数，求点 $(x_0$， $0)$与点 $D$间的距离；

（4）在 $L$和 $a$所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出 $b=2019$和 $b=2019.5$时“美点”的个数．

设抛物线的解析式为 $y=a{x}^2$ ，过点 $B_1(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_1(1,2)$ ；过点 $B_2(\frac{1}{2}$ ， $0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_2$ ； $\dots$ ；过点 $B_n({\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ ， $0\left)\right(n$ 为正整数）作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_n$ ，连接 $A_n{B}_{n+1}$ ，得 $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）直接写出线段 $A_n{B}_n$ ， $B_n{B}_{n+1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）；

（3）在系列 $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ 中，探究下列问题：

①当 $n$ 为何值时， $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ 是等腰直角三角形？

②设 $1⩽k<m⩽n(k$ ， $m$ 均为正整数），问：是否存在 $\mathit{Rt}$ △ $A_k{B}_k{B}_{k+1}$ 与 $\mathit{Rt}$ △ $A_m{B}_m{B}_{m+1}$ 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．