初中数学二次函数的性质试题

已知抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$， $c$为常数， $b>0)$经过点 $A(-1,0)$，点 $M(m,0)$是 $x$轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当 $b=2$时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点 $D(b,y_D)$在抛物线上，当 $\mathit{AM}=\mathit{AD}$， $m=5$时，求 $b$的值；

（Ⅲ）点 $Q(b+\frac{1}{2}$， $y_Q)$在抛物线上，当 $\sqrt{2}\mathit{AM}+2\mathit{QM}$的最小值为 $\frac{33\sqrt{2}}{4}$时，求 $b$的值．

在平面直角坐标系中，点 $O(0,0)$，点 $A(1,0)$．已知抛物线 $y=x^2+\mathit{mx}-2m(m$是常数），顶点为 $P$．

（Ⅰ）当抛物线经过点 $A$时，求顶点 $P$的坐标；

（Ⅱ）若点 $P$在 $x$轴下方，当 $\angle \mathit{AOP}=45°$时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）无论 $m$取何值，该抛物线都经过定点 $H$．当 $\angle \mathit{AHP}=45°$时，求抛物线的解析式．

已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}-3(b$是常数）经过点 $A(-1,0)$．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2） $P(m,t)$为抛物线上的一个动点， $P$关于原点的对称点为 $P^{\text{'}}$．

①当点 $P^{\text{'}}$落在该抛物线上时，求 $m$的值；

②当点 $P^{\text{'}}$落在第二象限内， $P^{\text{'}}{A}^2$取得最小值时，求 $m$的值．

综合与探究

如图，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{1}{3}x-4$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．点 $P$是第四象限内抛物线上的一个动点，点 $P$的横坐标为 $m$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为点 $M$， $\mathit{PM}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$，过点 $P$作 $\mathit{PE}//\mathit{AC}$交 $x$轴于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

（1）求 $A$， $B$， $C$三点的坐标；

（2）试探究在点 $P$运动的过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{QF}$的长，并求出 $m$为何值时 $\mathit{QF}$有最大值．

如图，抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{9}{x}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．点 $P$沿 $\mathit{AC}$以每秒1个单位长度的速度由点 $A$向点 $C$运动，同时，点 $Q$沿 $\mathit{BO}$以每秒2个单位长度的速度由点 $B$向点 $O$运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接 $\mathit{PQ}$．过点 $Q$作 $\mathit{QD}\perp x$轴，与抛物线交于点 $D$，与 $\mathit{BC}$交于点 $E$，连接 $\mathit{PD}$，与 $\mathit{BC}$交于点 $F$．设点 $P$的运动时间为 $t$秒 $(t>0)$．

（1）求直线 $\mathit{BC}$的函数表达式；

（2）①直接写出 $P$， $D$两点的坐标（用含 $t$的代数式表示，结果需化简）

②在点 $P$、 $Q$运动的过程中，当 $\mathit{PQ}=\mathit{PD}$时，求 $t$的值；

（3）试探究在点 $P$， $Q$运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点 $F$为 $\mathit{PD}$的中点？若存在，请直接写出此时 $t$的值与点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-8$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $l$ 经过坐标原点 $O$ ，与抛物线的一个交点为 $D$ ，与抛物线的对称轴交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，已知点 $A$ ， $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(6,-8)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 $B$ 和点 $E$ 的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点 $F$ ，使 $\mathit{\Delta FOE}\cong \mathit{\Delta FCE}$ ？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是 $y$ 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为 $(0,m)$ ，直线 $\mathit{PB}$ 与直线 $l$ 交于点 $Q$ ，试探究：当 $m$ 为何值时， $\mathit{\Delta OPQ}$ 是等腰三角形．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{1}{2}x+c$交 $x$轴于 $A$， $B$两点，交 $y$轴于点 $C$．直线 $y=-\frac{1}{2}x-2$经过点 $A$， $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是抛物线上一动点，过点 $P$作 $x$轴的垂线，交直线 $\mathit{AC}$于点 $M$，设点 $P$的横坐标为 $m$．

①当 $\mathit{\Delta PCM}$是直角三角形时，求点 $P$的坐标；

②作点 $B$关于点 $C$的对称点 $B^{\text{'}}$，则平面内存在直线 $l$，使点 $M$， $B$， $B\text{'}$到该直线的距离都相等．当点 $P$在 $y$轴右侧的抛物线上，且与点 $B$不重合时，请直接写出直线 $l:y=\mathit{kx}+b$的解析式． $(k$， $b$可用含 $m$的式子表示）

如图，抛物线 $y=a{x}^2+6x+c$交 $x$轴于 $A$， $B$两点，交 $y$轴于点 $C$．直线 $y=x-5$经过点 $B$， $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$的直线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$．

①当 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$时，过抛物线上一动点 $P$（不与点 $B$， $C$重合），作直线 $\mathit{AM}$的平行线交直线 $\mathit{BC}$于点 $Q$，若以点 $A$， $M$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $P$的横坐标；

②连接 $\mathit{AC}$，当直线 $\mathit{AM}$与直线 $\mathit{BC}$的夹角等于 $\angle \mathit{ACB}$的2倍时，请直接写出点 $M$的坐标．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$ 经过 $A(-1,0)$ ， $C(3,0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 为直线 $\mathit{BC}$ 上方抛物线上一个动点，连接 $\mathit{PB}$ ， $\mathit{PC}$ ．设 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，试求 $S$ 关于 $m$ 的函数解析式，并求出 $S$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$ ，点 $M(2,1)$ 为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使直线 $\mathit{QM}$ 与 $y$ 轴相交所成的锐角等于 $\angle \mathit{OAB}$ ？若存在，请直接写出点 $Q$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，过点 $A(8,0)$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$与直线 $y=\frac{2}{3}x$交于点 $B(6,n)$．点 $P$是线段 $\mathit{OB}$上一动点，过点 $P$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$，交抛物线于点 $E$．设 $\mathit{\Delta BOE}$的面积为 $S$，点 $P$的横坐标为 $m$．

（1）请直接写出 $n$的值及抛物线的解析式．

（2）为探究 $S$最大时点 $P$的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助 $\mathit{PE}$的长与三角形面积公式，求出 $S$关于 $m$的函数关系式，可确定点 $P$的位置．

乙：当点 $P$运动到点 $O$或点 $B$时， $S$的值可看作0，则当点 $P$运动到 $\mathit{OB}$中点时， $S$最大，即 $S$最大时，点 $P$为 $\mathit{OB}$的中点．

请参考甲的方法求出 $S$最大时点 $P$的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线 $l$与任意抛物线相交于 $M$、 $N$两点， $G$是线段 $\mathit{MN}$上的一个动点，过点 $G$作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点 $H$．当 $\mathit{\Delta MHN}$的面积最大时，点 $G$一定是线段 $\mathit{MN}$的中点吗？试作出判断并说明理由．

如图，抛物线 $y={(x-1)}^2+k$与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$． $P$为抛物线上一点，横坐标为 $m$，且 $m>0$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当点 $P$位于 $x$轴下方时，求 $\mathit{\Delta ABP}$面积的最大值；

（3）设此抛物线在点 $C$与点 $P$之间部分（含点 $C$和点 $P)$最高点与最低点的纵坐标之差为 $h$．

①求 $h$关于 $m$的函数解析式，并写出自变量 $m$的取值范围；

②当 $h=9$时，直接写出 $\mathit{\Delta BCP}$的面积．

已知函数 $y=\left\{\begin{array}{c}-x^2+\mathit{nx}+n,(x⩾n),\\ -\frac{1}{2}{x}^2+\frac{n}{2}x+\frac{n}{2},(x<n)\end{array}\right.(n$为常数）

（1）当 $n=5$，

①点 $P(4,b)$在此函数图象上，求 $b$的值；

②求此函数的最大值．

（2）已知线段 $\mathit{AB}$的两个端点坐标分别为 $A(2,2)$、 $B(4,2)$，当此函数的图象与线段 $\mathit{AB}$只有一个交点时，直接写出 $n$的取值范围．

（3）当此函数图象上有4个点到 $x$轴的距离等于4，求 $n$的取值范围．

《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{(x-2)}^2-\frac{4}{3}$经过原点 $O$，与 $x$轴的另一个交点为 $A$，则 $a=$　　．

【操作】将图①中抛物线在 $x$轴下方的部分沿 $x$轴折叠到 $x$轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为 $G$，如图②．直接写出图象 $G$对应的函数解析式．

【探究】在图②中，过点 $B(0,1)$作直线 $l$平行于 $x$轴，与图象 $G$的交点从左至右依次为点 $C$， $D$， $E$， $F$，如图③．求图象 $G$在直线 $l$上方的部分对应的函数 $y$随 $x$增大而增大时 $x$的取值范围．

【应用】 $P$是图③中图象 $G$上一点，其横坐标为 $m$，连接 $\mathit{PD}$， $\mathit{PE}$．直接写出 $\mathit{\Delta PDE}$的面积不小于1时 $m$的取值范围．

定义：对于给定的两个函数，任取自变量 $x$的一个值，当 $x<0$时，它们对应的函数值互为相反数；当 $x⩾0$时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数 $y=x-1$，它的相关函数为 $y=\left\{\begin{array}{c}-x+1(x<0)\\ x-1(x⩾0)\end{array}\right.$．

（1）已知点 $A(-5,8)$在一次函数 $y=\mathit{ax}-3$的相关函数的图象上，求 $a$的值；

（2）已知二次函数 $y=-x^2+4x-\frac{1}{2}$．①当点 $B(m,\frac{3}{2})$在这个函数的相关函数的图象上时，求 $m$的值；

②当 $-3⩽x⩽3$时，求函数 $y=-x^2+4x-\frac{1}{2}$的相关函数的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐标系中，点 $M$， $N$的坐标分别为 $(-\frac{1}{2}$， $1)$， $(\frac{9}{2}$， $1)$，连结 $\mathit{MN}$．直接写出线段 $\mathit{MN}$与二次函数 $y=-x^2+4x+n$的相关函数的图象有两个公共点时 $n$的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $B$在 $x$轴正半轴上， $\mathit{OB}$的长度为 $2m$，以 $\mathit{OB}$为边向上作等边三角形 $\mathit{AOB}$，抛物线 $l:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $O$， $A$， $B$三点

（1）当 $m=2$时， $a=$　　，当 $m=3$时， $a=$　　；

（2）根据（1）中的结果，猜想 $a$与 $m$的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作 $x$轴的平行线交抛物线 $l$于 $P$、 $Q$两点， $\mathit{PQ}$的长度为 $2n$，当 $\mathit{\Delta APQ}$为等腰直角三角形时， $a$和 $n$的关系式为　　；

（4）利用（2）（3）中的结论，求 $\mathit{\Delta AOB}$与 $\mathit{\Delta APQ}$的面积比．