初中数学二次函数的性质试题

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线与 $x$轴交于 $(p,0)$， $(q,0)$，则该抛物线的解析式可以表示为：

$y=a(x-p)(x-q)=a{x}^2-a(p+q)x+\mathit{apq}$．

（1）若 $a=1$，抛物线与 $x$轴交于 $(1,0)$， $(5,0)$，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若 $a=-1$，如图（1）， $A(-1,0)$， $B(3,0)$，点 $M(m,0)$在线段 $\mathit{AB}$上，抛物线 $C_1$与 $x$轴交于 $A$， $M$，顶点为 $C$；抛物线 $C_2$与 $x$轴交于 $B$， $M$，顶点为 $D$．当 $A$， $C$， $D$三点在同一条直线上时，求 $m$的值；

（3）已知抛物线 $C_3$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$，线段 $\mathit{EF}$的端点 $E(0,3)$， $F(4,3)$．若抛物线 $C_3$与线段 $\mathit{EF}$有公共点，结合图象，在图（2）中探究 $a$的取值范围．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $G:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(0<a<12)$ 过点 $A(1,c-5a)$ ， $B(x_1$ ， $3)$ ， $C(x_2$ ， $3)$ ．顶点 $D$ 不在第一象限，线段 $\mathit{BC}$ 上有一点 $E$ ，设 $\mathit{\Delta OBE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta OCE}$ 的面积为 $S_2$ ， $S_1=S_2+\frac{3}{2}$ ．

（1）用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

（2）求点 $E$ 的坐标：

（3）若直线 $\mathit{DE}$ 与抛物线 $G$ 的另一个交点 $F$ 的横坐标为 $\frac{6}{a}+3$ ，求 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 在 $1<x<6$ 时的取值范围（用含 $a$ 的式子表示）．

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $C:y=a{x}^2+2x-1(a\ne 0)$和直线 $l:y=\mathit{kx}+b$，点 $A(-3,-3)$， $B(1,-1)$均在直线 $l$上．

（1）若抛物线 $C$与直线 $l$有交点，求 $a$的取值范围；

（2）当 $a=-1$，二次函数 $y=a{x}^2+2x-1$的自变量 $x$满足 $m⩽x⩽m+2$时，函数 $y$的最大值为 $-4$，求 $m$的值；

（3）若抛物线 $C$与线段 $\mathit{AB}$有两个不同的交点，请直接写出 $a$的取值范围．

已知抛物线 $C_1:y={(x-1)}^2-4$和 $C_2:y=x^2$

（1）如何将抛物线 $C_1$平移得到抛物线 $C_2$？

（2）如图1，抛物线 $C_1$与 $x$轴正半轴交于点 $A$，直线 $y=-\frac{4}{3}x+b$经过点 $A$，交抛物线 $C_1$于另一点 $B$．请你在线段 $\mathit{AB}$上取点 $P$，过点 $P$作直线 $\mathit{PQ}//y$轴交抛物线 $C_1$于点 $Q$，连接 $\mathit{AQ}$．

①若 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$，求点 $P$的横坐标；

②若 $\mathit{PA}=\mathit{PQ}$，直接写出点 $P$的横坐标．

（3）如图2， $\mathit{\Delta MNE}$的顶点 $M$、 $N$在抛物线 $C_2$上，点 $M$在点 $N$右边，两条直线 $\mathit{ME}$、 $\mathit{NE}$与抛物线 $C_2$均有唯一公共点， $\mathit{ME}$、 $\mathit{NE}$均与 $y$轴不平行．若 $\mathit{\Delta MNE}$的面积为2，设 $M$、 $N$两点的横坐标分别为 $m$、 $n$，求 $m$与 $n$的数量关系．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,6)$，与 $x$轴交于点 $B(-2,0)$， $C(6,0)$．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$，设点 $P(m,n)$是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，交 $x$轴于点 $D$，过点 $P$作 $\mathit{PG}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$，交 $x$轴于点 $G$．设线段 $\mathit{DG}$的长为 $d$，求 $d$与 $m$的函数关系式，并注明 $m$的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{\Delta PDG}$的面积为 $\frac{49}{12}$，

①求点 $P$的坐标；

②设 $M$为直线 $\mathit{AP}$上一动点，连接 $\mathit{OM}$，直线 $\mathit{OM}$交直线 $\mathit{AC}$于点 $S$，则点 $M$在运动过程中，在抛物线上是否存在点 $R$，使得 $\mathit{\Delta ARS}$为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 $M$及其对应的点 $R$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$

（1）若 $a=1$ ， $b=-2$ ， $c=-1$

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数 $y=p{x}^2+\mathit{qx}+r(p\ne 0)$ ，满足方程 $y=x$ 的 $x$ 的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 有两个不同的"不动点"．

（2）设 $b=\frac{1}{2}{c}^3$ ，如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴分别相交于不同的两点 $A(x_1$ ， $0)$ ， $B(x_2$ ， $0)$ ，其中 $x_1<0$ ， $x_2>0$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连结 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$ ，又点 $E$ 的坐标为 $(1,0)$ ，过点 $D$ 作垂直于 $y$ 轴的直线与直线 $\mathit{CE}$ 相交于点 $F$ ，满足 $\angle \mathit{AFC}=\angle \mathit{ABC}$ ． $\mathit{FA}$ 的延长线与 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{PA}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5a^2+1}}$ ，求二次函数的表达式．

如图1， $\mathit{\Delta AOB}$的三个顶点 $A$、 $O$、 $B$分别落在抛物线 $F_1:y=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x$的图象上，点 $A$的横坐标为 $-4$，点 $B$的纵坐标为 $-2$．（点 $A$在点 $B$的左侧）

（1）求点 $A$、 $B$的坐标；

（2）将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$逆时针旋转 $90°$得到△ $A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}$，抛物线 $F_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$经过 $A^{\text{'}}$、 $B^{\text{'}}$两点，已知点 $M$为抛物线 $F_2$的对称轴上一定点，且点 $A^{\text{'}}$恰好在以 $\mathit{OM}$为直径的圆上，连接 $\mathit{OM}$、 $A^{\text{'}}M$，求△ $O{A}^{\text{'}}M$的面积；

（3）如图2，延长 $O{B}^{\text{'}}$交抛物线 $F_2$于点 $C$，连接 $A^{\text{'}}C$，在坐标轴上是否存在点 $D$，使得以 $A$、 $O$、 $D$为顶点的三角形与△ $O{A}^{\text{'}}C$相似．若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$过点 $E(8,0)$，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在线段 $\mathit{OE}$上（点 $A$在点 $B$的左侧），点 $C$、 $D$在抛物线上， $\angle \mathit{BAD}$的平分线 $\mathit{AM}$交 $\mathit{BC}$于点 $M$，点 $N$是 $\mathit{CD}$的中点，已知 $\mathit{OA}=2$，且 $\mathit{OA}:\mathit{AD}=1:3$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $F$、 $G$分别为 $x$轴， $y$轴上的动点，顺次连接 $M$、 $N$、 $G$、 $F$构成四边形 $\mathit{MNGF}$，求四边形 $\mathit{MNGF}$周长的最小值；

（3）在 $x$轴下方且在抛物线上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta ODP}$中 $\mathit{OD}$边上的高为 $\frac{6\sqrt{10}}{5}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形 $\mathit{ABCD}$不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $K$、 $L$，且直线 $\mathit{KL}$平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图，在直角坐标系中有 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$， $O$为坐标原点， $\mathit{OB}=1$， $\tan \angle \mathit{ABO}=3$，将此三角形绕原点 $O$顺时针旋转 $90°$，得到 $\text{Rt}\Delta \text{COD}$，二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象刚好经过 $A$， $B$， $C$三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点 $P$的坐标；

（2）过定点 $Q$的直线 $l:y=\mathit{kx}-k+3$与二次函数图象相交于 $M$， $N$两点．

①若 $S_{\mathit{\Delta PMN}}=2$，求 $k$的值；

②证明：无论 $k$为何值， $\mathit{\Delta PMN}$恒为直角三角形；

③当直线 $l$绕着定点 $Q$旋转时， $\mathit{\Delta PMN}$外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

如图，顶点为 $M$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与 $x$轴交于 $A(3,0)$， $B(-1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在 $y$轴上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAM}$为直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 $D$，满足 $\mathit{DA}=\mathit{OA}$，过 $D$作 $\mathit{DG}\perp x$轴于点 $G$，设 $\mathit{\Delta ADG}$的内心为 $I$，试求 $\mathit{CI}$的最小值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+4$的对称轴是直线 $x=3$，与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点（点 $B$在点 $A$右侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式和 $A$， $B$两点的坐标；

（2）如图1，若点 $P$是抛物线上 $B$、 $C$两点之间的一个动点（不与 $B$、 $C$重合），是否存在点 $P$，使四边形 $\mathit{PBOC}$的面积最大？若存在，求点 $P$的坐标及四边形 $\mathit{PBOC}$面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点 $M$是抛物线上任意一点，过点 $M$作 $y$轴的平行线，交直线 $\mathit{BC}$于点 $N$，当 $\mathit{MN}=3$时，求点 $M$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y=-5x+5$与 $x$轴， $y$轴分别交于 $A$， $C$两点，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $C$两点，与 $x$轴的另一交点为 $B$．

（1）求抛物线解析式及 $B$点坐标；

（2）若点 $M$为 $x$轴下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{MA}$、 $\mathit{MB}$、 $\mathit{BC}$，当点 $M$运动到某一位置时，四边形 $\mathit{AMBC}$面积最大，求此时点 $M$的坐标及四边形 $\mathit{AMBC}$的面积；

（3）如图2，若 $P$点是半径为2的 $\odot B$上一动点，连接 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PA}$，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{PC}+\frac{1}{2}\mathit{PA}$的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

在平面直角坐标系中，直线 $y=x+2$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a<0)$经过点 $A$、 $B$．

（1）求 $a$、 $b$满足的关系式及 $c$的值．

（2）当 $x<0$时，若 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a<0)$的函数值随 $x$的增大而增大，求 $a$的取值范围．

（3）如图，当 $a=-1$时，在抛物线上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PAB}$的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过点 $A(-4,0)$、 $B(-1,3)$两点， $G$是其顶点，将抛物线 $C$绕点 $O$旋转 $180°$，得到新的抛物线 $C\text{'}$．

（1）求抛物线 $C$的函数解析式及顶点 $G$的坐标；

（2）如图2，直线 $l:y=\mathit{kx}-\frac{12}{5}$经过点 $A$， $D$是抛物线 $C$上的一点，设 $D$点的横坐标为 $m(m<-2)$，连接 $\mathit{DO}$并延长，交抛物线 $C\text{'}$于点 $E$，交直线 $l$于点 $M$，若 $\mathit{DE}=2\mathit{EM}$，求 $m$的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{AG}$、 $\mathit{AB}$，在直线 $\mathit{DE}$下方的抛物线 $C$上是否存在点 $P$，使得 $\angle \mathit{DEP}=\angle \mathit{GAB}$？若存在，求出点 $P$的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，顶点为 $P(3,3)$的二次函数图象与 $x$轴交于点 $A(6,0)$，点 $B$在该图象上， $\mathit{OB}$交其对称轴 $l$于点 $M$，点 $M$、 $N$关于点 $P$对称，连接 $\mathit{BN}$、 $\mathit{ON}$．

（1）求该二次函数的关系式．

（2）若点 $B$在对称轴 $l$右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①连接 $\mathit{OP}$，当 $\mathit{OP}=\frac{1}{2}\mathit{MN}$时，请判断 $\mathit{\Delta NOB}$的形状，并求出此时点 $B$的坐标．

②求证： $\angle \mathit{BNM}=\angle \mathit{ONM}$．