初中数学二次函数图象上点的坐标特征解答题

综合与探究

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+2x-6$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ ， $C$ 三点的坐标并直接写出直线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ 的函数表达式．

（2）点 $P$ 是直线 $\mathit{AC}$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线 $l$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ．

①试探究：在直线 $l$ 上是否存在点 $E$ ，使得以点 $D$ ， $C$ ， $B$ ， $E$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线 $l$ 交于点 $M$ ，与直线 $\mathit{AC}$ 交于点 $N$ ．当 $S_{\mathit{\Delta DMN}}=S_{\mathit{\Delta AOC}}$ 时，请直接写出 $\mathit{DM}$ 的长．

在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为"雁点"．例如 $(1,1)$ ， $(2021,2021)\dots$ 都是"雁点"．

（1）求函数 $y=\frac{4}{x}$ 图象上的"雁点"坐标；

（2）若抛物线 $y=a{x}^2+5x+c$ 上有且只有一个"雁点" $E$ ，该抛物线与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧）．当 $a>1$ 时．

①求 $c$ 的取值范围；

②求 $\angle \mathit{EMN}$ 的度数；

（3）如图，抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）， $P$ 是抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 上一点，连接 $\mathit{BP}$ ，以点 $P$ 为直角顶点，构造等腰 $\text{Rt}\Delta \text{BPC}$ ，是否存在点 $P$ ，使点 $C$ 恰好为"雁点"？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点 $P(0,1)$，求 $a+b$的最小值；

（2）已知点 $P_1(-2,1)$， $P_2(2,-1)$， $P_3(2,1)$中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线 $l:y=\mathit{kx}+1$与抛物线交于 $M$， $N$两点，点 $A$在直线 $y=-1$上，且 $\angle \mathit{MAN}=90°$，过点 $A$且与 $x$轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$于点 $B$， $C$．求证： $\mathit{\Delta MAB}$与 $\mathit{\Delta MBC}$的面积相等．