初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点是 $A(1,3)$，将 $\mathit{OA}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到 $\mathit{OB}$，点 $B$恰好在抛物线上， $\mathit{OB}$与抛物线的对称轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$是线段 $\mathit{AC}$上一动点，且不与点 $A$， $C$重合，过点 $P$作平行于 $x$轴的直线，与 $\mathit{\Delta OAB}$的边分别交于 $M$， $N$两点，将 $\mathit{\Delta AMN}$以直线 $\mathit{MN}$为对称轴翻折，得到△ $A\text{'}\mathit{MN}$，设点 $P$的纵坐标为 $m$．

①当△ $A\text{'}\mathit{MN}$在 $\mathit{\Delta OAB}$内部时，求 $m$的取值范围；

②是否存在点 $P$，使 $S_{△A\text{'}\mathit{MN}}=\frac{5}{6}{S}_{△\mathit{OA}\text{'}B}$，若存在，求出满足条件 $m$的值；若不存在，请说明理由．

已知点 $A(1,0)$是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+m(a$， $b$， $m$为常数， $a\ne 0$， $m<0)$与 $x$轴的一个交点．

（Ⅰ）当 $a=1$， $m=-3$时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）若抛物线与 $x$轴的另一个交点为 $M(m,0)$，与 $y$轴的交点为 $C$，过点 $C$作直线 $l$平行于 $x$轴， $E$是直线 $l$上的动点， $F$是 $y$轴上的动点， $\mathit{EF}=2\sqrt{2}$．

①当点 $E$落在抛物线上（不与点 $C$重合），且 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$时，求点 $F$的坐标；

②取 $\mathit{EF}$的中点 $N$，当 $m$为何值时， $\mathit{MN}$的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$？

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$，点 $C$的坐标为 $(0,-3)$．点 $P$为抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上的一个动点．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）设点 $F$在抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的对称轴上，当 $\mathit{\Delta ACF}$的周长最小时，直接写出点 $F$的坐标；

（3）在第一象限，是否存在点 $P$，使点 $P$到直线 $\mathit{BC}$的距离是点 $D$到直线 $\mathit{BC}$的距离的5倍？若存在，求出点 $P$所有的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$，点 $C$的坐标为 $(0,-3)$．点 $P$为抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上的一个动点．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）设点 $F$在抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的对称轴上，当 $\mathit{\Delta ACF}$的周长最小时，直接写出点 $F$的坐标；

（3）在第一象限，是否存在点 $P$，使点 $P$到直线 $\mathit{BC}$的距离是点 $D$到直线 $\mathit{BC}$的距离的5倍？若存在，求出点 $P$所有的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-2,0)$， $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，点 $P$是第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图甲，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{PA}$， $\mathit{PC}$，若 $S_{\mathit{\Delta PAC}}=\frac{15}{2}$，求点 $P$的坐标；

（3）如图乙，过 $A$， $B$， $P$三点作 $\odot M$，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp x$轴，垂足为 $D$，交 $\odot M$于点 $E$．点 $P$在运动过程中线段 $\mathit{DE}$的长是否变化，若有变化，求出 $\mathit{DE}$的取值范围；若不变，求 $\mathit{DE}$的长．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+5$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $A$、 $B$（如图）．抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$经过点 $A$．

[小题1]求线段 $\mathit{AB}$的长；

[小题2]如果抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过线段 $\mathit{AB}$上的另一点 $C$，且 $\mathit{BC}=\sqrt{5}$，求这条抛物线的表达式；

[小题3]如果抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的顶点 $D$位于 $\mathit{\Delta AOB}$内，求 $a$的取值范围．

如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$、 $D$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $A$，与 $y$轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线的顶点为 $M$，求四边形 $\mathit{ABMC}$的面积．（请在图1中探索）

（3）设点 $Q$在 $y$轴上，点 $P$在抛物线上．要使以点 $A$、 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 $P$的坐标．（请在图2中探索）

如图，二次函数 $y=x^2-3x$的图象经过 $O(0,0)$， $A(4,4)$， $B(3,0)$三点，以点 $O$为位似中心，在 $y$轴的右侧将 $\mathit{\Delta OAB}$按相似比 $2:1$放大，得到△ $\mathit{OA}\text{'}B\text{'}$，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $O$， $A\text{'}$， $B\text{'}$三点．

（1）画出△ $\mathit{OA}\text{'}B\text{'}$，试求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的表达式；

（2）点 $P(m,n)$在二次函数 $y=x^2-3x$的图象上， $m\ne 0$，直线 $\mathit{OP}$与二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象交于点 $Q$（异于点 $O)$．

①求点 $Q$的坐标（横、纵坐标均用含 $m$的代数式表示）

②连接 $\mathit{AP}$，若 $2\mathit{AP}>\mathit{OQ}$，求 $m$的取值范围；

③当点 $Q$在第一象限内，过点 $Q$作 $\mathit{QQ}\text{'}$平行于 $x$轴，与二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象交于另一点 $Q\text{'}$，与二次函数 $y=x^2-3x$的图象交于点 $M$， $N(M$在 $N$的左侧），直线 $\mathit{OQ}\text{'}$与二次函数 $y=x^2-3x$的图象交于点 $P\text{'}$．△ $Q\text{'}P\text{'}M\backsim$△ $\mathit{QB}\text{'}N$，则线段 $\mathit{NQ}$的长度等于　 ．

如图①，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$两点，且与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$轴，并沿 $x$轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$、 $Q$两点（点 $P$在点 $Q$的左侧），连接 $\mathit{PQ}$，在线段 $\mathit{PQ}$上方抛物线上有一动点 $D$，连接 $\mathit{DP}$、 $\mathit{DQ}$．

（Ⅰ）若点 $P$的横坐标为 $-\frac{1}{2}$，求 $\mathit{\Delta DPQ}$面积的最大值，并求此时点 $D$的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $\mathit{\Delta DPQ}$面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

如图，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-4,0)$， $P$是抛物线上一点（点 $P$与点 $A$、 $B$、 $C$不重合）．

（1） $b=$　　，点 $B$的坐标是　　；

（2）设直线 $\mathit{PB}$与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $M$，是否存在这样的点 $P$，使得 $\mathit{PM}:\mathit{MB}=1:2$？若存在，求出点 $P$的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，判断 $\angle \mathit{CAB}$和 $\angle \mathit{CBA}$的数量关系，并说明理由．

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}-3$经过点 $(-1,0)$，则 $b=$　　，顶点坐标为　　，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是　　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，以 $y$轴上的点 $M(0,m)$为中心，作该抛物线关于点 $M$中心对称的抛物线 $y\text{'}$，则我们又称抛物线 $y\text{'}$为抛物线 $y$的“衍生抛物线”，点 $M$为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 $y=-x^2-2x+5$关于点 $(0,m)$的衍生抛物线为 $y\text{'}$，若这两条抛物线有交点，求 $m$的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}-b(a\ne 0)$

①若抛物线 $y$的衍生抛物线为 $y\text{'}=b{x}^2-2\mathit{bx}+a^2(b\ne 0)$，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$、 $b$的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 $y$关于点 $(0,k+1^2)$的衍生抛物线为 $y_1$，其顶点为 $A_1$；关于点 $(0,k+2^2)$的衍生抛物线为 $y_2$，其顶点为 $A_2$； $\dots$；关于点 $(0,k+n^2)$的衍生抛物线为 $y_n$，其顶点为 $A_n\dots (n$为正整数）．求 $A_n{A}_{n+1}$的长（用含 $n$的式子表示）．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A$， $B$两点的坐标分别为 $(-4,0)$， $(4,0)$， $C(m,0)$是线段 $\mathit{AB}$上一点（与 $A$， $B$点不重合），抛物线 $L_1:y=a{x}^2+b_{1}x+c_1(a<0)$经过点 $A$， $C$，顶点为 $D$，抛物线 $L_2:y=a{x}^2+b_{2}x+c_2(a<0)$经过点 $C$， $B$，顶点为 $E$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$的延长线相交于点 $F$．

（1）若 $a=-\frac{1}{2}$， $m=-1$，求抛物线 $L_1$， $L_2$的解析式；

（2）若 $a=-1$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BF}$，求 $m$的值；

（3）是否存在这样的实数 $a(a<0)$，无论 $m$取何值，直线 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BF}$都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 $a$的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$过 $A(1,0)$、 $B(-3,0)$，直线 $\mathit{AD}$交抛物线于点 $D$，点 $D$的横坐标为 $-2$，点 $P(m,n)$是线段 $\mathit{AD}$上的动点，过点 $P$的直线垂直于 $x$轴，交抛物线于点 $Q$．

（1）求直线 $\mathit{AD}$及抛物线的解析式；

（2）求线段 $\mathit{PQ}$的长度 $l$与 $m$的关系式， $m$为何值时， $\mathit{PQ}$最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数） $R$，使得 $P$、 $Q$、 $D$、 $R$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $R$的坐标；若不存在，说明理由．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与坐标轴分别交于点 $A(0,6)$， $B(6,0)$， $C(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PAB}$的面积有最大值？

（3）过点 $P$作 $x$轴的垂线，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$，再过点 $P$做 $\mathit{PE}//x$轴交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，请问是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线的顶点坐标为 $(2,0)$，且经过点 $(4,1)$，如图，直线 $y=\frac{1}{4}x$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，直线 $l$为 $y=-1$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $l$上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{PA}+B$取得最小值？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知 $F(x_0$， $y_0)$为平面内一定点， $M(m,n)$为抛物线上一动点，且点 $M$到直线 $l$的距离与点 $M$到点 $F$的距离总是相等，求定点 $F$的坐标．