初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}$与直线 $y=2x+4$交于 $A(a,8)$、 $B$两点，点 $P$是抛物线上 $A$、 $B$之间的一个动点，过点 $P$分别作 $x$轴、 $y$轴的平行线与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$和点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $C$为 $\mathit{AB}$中点，求 $\mathit{PC}$的长；

（3）如图，以 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$为边构造矩形 $\mathit{PCDE}$，设点 $D$的坐标为 $(m,n)$，请求出 $m$， $n$之间的关系式．

如图，抛物线经过 $A(-1,0)$， $B(5,0)$， $C(0,-\frac{5}{2})$三点．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小，求点 $P$的坐标．

（Ⅲ）点 $M$为 $x$轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 $N$，使以 $A$， $C$， $M$， $N$四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-3x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$， $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=c$分别交 $y$轴的正半轴于点 $C$和第一象限的点 $P$，连接 $\mathit{PB}$，得 $\mathit{\Delta PCB}\cong \mathit{\Delta BOA}(O$为坐标原点）．若抛物线与 $x$轴正半轴交点为点 $F$，设 $M$是点 $C$， $F$间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为 $m$．

（1）直接写出点 $P$的坐标和抛物线的解析式；

（2）当 $m$为何值时， $\mathit{\Delta MAB}$面积 $S$取得最小值和最大值？请说明理由；

（3）求满足 $\angle \mathit{MPO}=\angle \mathit{POA}$的点 $M$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-\frac{9}{2}$与 $x$轴交于 $A(1,0)$、 $B(6,0)$两点， $D$是 $y$轴上一点，连接 $\mathit{DA}$，延长 $\mathit{DA}$交抛物线于点 $E$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若 $E$点在第一象限，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp x$轴于点 $F$， $\mathit{\Delta ADO}$与 $\mathit{\Delta AEF}$的面积比为 $\frac{S_{\mathit{\Delta ADO}}}{S_{\mathit{\Delta AEF}}}=\frac{1}{9}$，求出点 $E$的坐标；

（3）若 $D$是 $y$轴上的动点，过 $D$点作与 $x$轴平行的直线交抛物线于 $M$、 $N$两点，是否存在点 $D$，使 $D{A}^2=\mathit{DM}·\mathit{DN}$？若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数： $y=a{x}^2+(2a+1)x+2(a<0)$．

（1）求证：二次函数的图象与 $x$轴有两个交点；

（2）当二次函数的图象与 $x$轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $a$为负整数时，求 $a$的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 $x$轴的两个交点 $A$， $B(A$在 $B$的左侧），与 $y$轴的交点 $C$及其顶点 $D$这四点画出二次函数的大致图象，同时标出 $A$， $B$， $C$， $D$的位置）；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 $P$使 $\angle \mathit{PCA}=75°$？如果存在，求出点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如果抛物线 $C_1$的顶点在拋物线 $C_2$上，抛物线 $C_2$的顶点也在拋物线 $C_1$上时，那么我们称抛物线 $C_1$与 $C_2$ “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线 $C_1:y_1=\frac{1}{4}{x}^2+x$与 $C_2:y_2=a{x}^2+x+c$是“互为关联”的拋物线，点 $A$， $B$分别是抛物线 $C_1$， $C_2$的顶点，抛物线 $C_2$经过点 $D(6,-1)$．

（1）直接写出 $A$， $B$的坐标和抛物线 $C_2$的解析式；

（2）抛物线 $C_2$上是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta ABE}$是直角三角形？如果存在，请求出点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，点 $F(-6,3)$在抛物线 $C_1$上，点 $M$， $N$分别是抛物线 $C_1$， $C_2$上的动点，且点 $M$， $N$的横坐标相同，记 $\mathit{\Delta AFM}$面积为 $S_1$（当点 $M$与点 $A$， $F$重合时 $S_1=0)$， $\mathit{\Delta ABN}$的面积为 $S_2$（当点 $N$与点 $A$， $B$重合时， $S_2=0)$，令 $S=S_1+S_2$，观察图象，当 $y_1⩽y_2$时，写出 $x$的取值范围，并求出在此范围内 $S$的最大值．

如图，直线 $y=x-3$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $C$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$经过 $A$， $B$， $C$三点，抛物线的顶点为点 $D$，对称轴与 $x$轴的交点为点 $E$，点 $E$关于原点的对称点为 $F$，连接 $\mathit{CE}$，以点 $F$为圆心， $\frac{1}{2}\mathit{CE}$的长为半径作圆，点 $P$为直线 $y=x-3$上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta BDP}$周长的最小值；

（3）若动点 $P$与点 $C$不重合，点 $Q$为 $\odot F$上的任意一点，当 $\mathit{PQ}$的最大值等于 $\frac{3}{2}\mathit{CE}$时，过 $P$， $Q$两点的直线与抛物线交于 $M$， $N$两点（点 $M$在点 $N$的左侧），求四边形 $\mathit{ABMN}$的面积．

已知抛物线 $y=m{x}^2$和直线 $y=-x+b$都经过点 $M(-2,4)$，点 $O$为坐标原点，点 $P$为抛物线上的动点，直线 $y=-x+b$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点．

（1）求 $m$、 $b$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta PAM}$是以 $\mathit{AM}$为底边的等腰三角形时，求点 $P$的坐标；

（3）满足（2）的条件时，求 $\sin \angle \mathit{BOP}$的值．

如图，已知抛物线过点 $A(4,0)$， $B(-2,0)$， $C(0,-4)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在图甲中，点 $M$是抛物线 $\mathit{AC}$段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点 $M$的坐标；

（3）在图乙中，点 $C$和点 $C_1$关于抛物线的对称轴对称，点 $P$在抛物线上，且 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{CA}{C}_1$，求点 $P$的横坐标．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点，其中点 $A$， $C$的坐标分别为 $(1,0)$， $(-4,0)$，抛物线的顶点为点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $E$是直角三角形 $\mathit{ABC}$斜边 $\mathit{AB}$上的一个动点（不与 $A$， $B$重合），过点 $E$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $F$，当线段 $\mathit{FE}$的长度最大时，求点 $E$的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PEF}$是以 $\mathit{EF}$为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y_1=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B(4,0)$．

（1）求抛物线 $y_1$的函数解析式；

（2）如图①，将抛物线 $y_1$沿 $x$轴翻折得到抛物线 $y_2$，抛物线 $y_2$与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点，过点 $D$作 $\mathit{DE}//y$轴交抛物线 $y_1$于点 $E$，求线段 $\mathit{DE}$的长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当线段 $\mathit{DE}$处于长度最大值位置时，作线段 $\mathit{BC}$的垂直平分线交 $\mathit{DE}$于点 $F$，垂足为 $H$，点 $P$是抛物线 $y_2$上一动点， $\odot P$与直线 $\mathit{BC}$相切，且 $S_{\odot P}:S_{\mathit{\Delta DFH}}=2\pi$，求满足条件的所有点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2-2\sqrt{3}\mathit{ax}-9a$与坐标轴交于 $A$， $B$， $C$三点，其中 $C(0,3)$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线 $\mathit{AE}$交 $y$轴于点 $D$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $D$的直线 $l$与射线 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$分别交于点 $M$， $N$．

（1）直接写出 $a$的值、点 $A$的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点 $P$为抛物线的对称轴上一动点，若 $\mathit{\Delta PAD}$为等腰三角形，求出点 $P$的坐标；

（3）证明：当直线 $l$绕点 $D$旋转时， $\frac{1}{\mathit{AM}}+\frac{1}{\mathit{AN}}$均为定值，并求出该定值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$、 $B(9,0)$和 $C(0,4)$， $\mathit{CD}$垂直于 $y$轴，交抛物线于点 $D$， $\mathit{DE}$垂直于 $x$轴，垂足为 $E$，直线 $l$是该抛物线的对称轴，点 $F$是抛物线的顶点．

（1）求出该二次函数的表达式及点 $D$的坐标；

（2）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移，使其直角边 $\mathit{OC}$与对称轴 $l$重合，再沿对称轴 $l$向上平移到点 $C$与点 $F$重合，得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$，求此时 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$与矩形 $\mathit{OCDE}$重叠部分图形的面积；

（3）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移 $t$个单位长度 $(0<t⩽6)$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$， $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$与 $\text{Rt}\Delta \text{OED}$重叠部分图形的面积记为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数表达式，并写出自变量 $t$的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．点 $P$是第一象限内抛物线上的一个动点，点 $P$的横坐标为 $m$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为点 $M$， $\mathit{PM}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．试探究点 $P$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象交 $x$轴于点 $(-1,0)$， $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$．动点 $M$从点 $A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $\mathit{AB}$方向运动，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴交直线 $\mathit{BC}$于点 $N$，交抛物线于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，设运动的时间为 $t$秒．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$的表达式；

（2）连接 $\mathit{BD}$，当 $t=\frac{3}{2}$时，求 $\mathit{\Delta DNB}$的面积；

（3）在直线 $\mathit{MN}$上存在一点 $P$，当 $\mathit{\Delta PBC}$是以 $\angle \mathit{BPC}$为直角的等腰直角三角形时，求此时点 $D$的坐标；

（4）当 $t=\frac{5}{4}$时，在直线 $\mathit{MN}$上存在一点 $Q$，使得 $\angle \mathit{AQC}+\angle \mathit{OAC}=90°$，求点 $Q$的坐标．