初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，点 $P$ 在抛物线上运动．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，若点 $P$ 在第四象限，点 $Q$ 在 $\mathit{PA}$ 的延长线上，当 $\angle \mathit{CAQ}=\angle \mathit{CBA}+45°$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图②，若点 $P$ 在第一象限，直线 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ，当 $\mathit{\Delta PFH}$ 为等腰三角形时，求线段 $\mathit{PH}$ 的长．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，且点 $A$的坐标为 $(-1,0)$、点 $C$的坐标为 $(0,3)$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1，若该抛物线的顶点为 $P$，求 $\mathit{\Delta PBC}$的面积；

（3）如图2，有两动点 $D$、 $E$在 $\mathit{\Delta COB}$的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点 $C$和点 $B$同时出发，点 $D$沿折线 $\mathit{COB}$按 $C\to O\to B$方向向终点 $B$运动，点 $E$沿线段 $\mathit{BC}$按 $B\to C$方向向终点 $C$运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 $t$秒，请解答下列问题：

①当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta BDE}$的面积等于 $\frac{33}{10}$；

②在点 $D$、 $E$运动过程中，该抛物线上存在点 $F$，使得依次连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{DF}$、 $\mathit{FE}$、 $\mathit{EA}$得到的四边形 $\mathit{ADFE}$是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 $F$的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $y=a{(x-h)}^2+k$ 与 $x$ 轴相交于 $O$ ， $A$ 两点，顶点 $P$ 的坐标为 $(2,-1)$ ．点 $B$ 为抛物线上一动点，连接 $\mathit{AP}$ ， $\mathit{AB}$ ，过点 $B$ 的直线与抛物线交于另一点 $C$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $B$ 的横坐标与纵坐标相等， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{OAP}$ ，且点 $C$ 位于 $x$ 轴上方，求点 $C$ 的坐标；

（3）若点 $B$ 的横坐标为 $t$ ， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，请用含 $t$ 的代数式表示点 $C$ 的横坐标，并求出当 $t<0$ 时，点 $C$ 的横坐标的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与坐标轴交于 $A(0,-2)$ ， $B(4,0)$ 两点，直线 $\mathit{BC}:y=-2x+8$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ．点 $D$ 为直线 $\mathit{AB}$ 下方抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $G$ ， $\mathit{DG}$ 分别交直线 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的表达式；

（2）当 $\mathit{GF}=\frac{1}{2}$ 时，连接 $\mathit{BD}$ ，求 $\mathit{\Delta BDF}$ 的面积；

（3）① $H$ 是 $y$ 轴上一点，当四边形 $\mathit{BEHF}$ 是矩形时，求点 $H$ 的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点 $P$ ，满足 $\mathit{PH}=\mathit{PC}+2$ ，求 $\mathit{\Delta PHB}$ 周长的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象经过点 $A(0,-\frac{7}{4})$ ，点 $B(1,\frac{1}{4})$ ．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）当 $-2⩽x⩽2$ 时，求二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的最大值和最小值；

（3）点 $P$ 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}//x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $-2m+1$ ．已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合，且线段 $\mathit{PQ}$ 的长度随 $m$ 的增大而减小．

①求 $m$ 的取值范围；

②当 $\mathit{PQ}⩽7$ 时，直接写出线段 $\mathit{PQ}$ 与二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c(-2⩽x<\frac{1}{3})$ 的图象交点个数及对应的 $m$ 的取值范围．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $N(n,0)$是 $x$轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若 $n<3$，过点 $N$作 $x$轴的垂线交抛物线于点 $P$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，当 $n$为何值时， $\mathit{\Delta PDG}\cong \mathit{\Delta BNG}$；

（3）如图2，将直线 $\mathit{BC}$绕点 $B$顺时针旋转，它恰好经过线段 $\mathit{OC}$的中点，然后将它向上平移 $\frac{3}{2}$个单位长度，得到直线 $O{B}_1$．

① $\tan \angle \mathit{BO}{B}_1=$　　；

②当点 $N$关于直线 $O{B}_1$的对称点 $N_1$落在抛物线上时，求点 $N$的坐标．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象经过点 $C(2,-3)$ ，且与 $x$ 轴交于原点及点 $B(8,0)$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点 $A$ 的坐标及直线 $\mathit{AB}$ 的表达式；

（3）判断 $\mathit{\Delta ABO}$ 的形状，试说明理由；

（4）若点 $P$ 为 $\odot O$ 上的动点，且 $\odot O$ 的半径为 $2\sqrt{2}$ ，一动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 $\mathit{AP}$ 匀速运动到点 $P$ ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 $\mathit{PB}$ 匀速运动到点 $B$ 后停止运动，求点 $E$ 的运动时间 $t$ 的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形，点 $A$， $B$在 $x$轴上，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B$， $D(-4,5)$两点，且与直线 $\mathit{DC}$交于另一点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $F$为抛物线对称轴上一点， $Q$为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $Q$， $F$， $E$， $B$为顶点的四边形是以 $\mathit{BE}$为边的菱形．若存在，请求出点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $P$为 $y$轴上一点，过点 $P$作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$，连接 $\mathit{ME}$， $\mathit{BP}$，探究 $\mathit{EM}+\mathit{MP}+\mathit{PB}$是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-3)$，点 $Q$为线段 $\mathit{BC}$上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $\left|\mathit{QO}\right|+\left|\mathit{QA}\right|$的最小值；

（3）过点 $Q$作 $\mathit{PQ}//\mathit{AC}$交抛物线的第四象限部分于点 $P$，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，记 $\mathit{\Delta PAQ}$与 $\mathit{\Delta PBQ}$面积分别为 $S_1$， $S_2$，设 $S=S_1+S_2$，求点 $P$坐标，使得 $S$最大，并求此最大值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和 $B(-5,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $P$，点 $N$在抛物线对称轴上且位于 $x$轴下方，连 $\mathit{AN}$交抛物线于 $M$，连 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CM}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当 $\tan \angle \mathit{ACM}=2$时，求 $M$点的横坐标；

（3）如图2，过点 $P$作 $x$轴的平行线 $l$，过 $M$作 $\mathit{MD}\perp l$于 $D$，若 $\mathit{MD}=\sqrt{3}\mathit{MN}$，求 $N$点的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(-2,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=2\mathit{OA}$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ．直线 $y=\mathit{mx}+n$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线及直线 $\mathit{BC}$ 的函数表达式；

（2）点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，当 $\mathit{FA}+\mathit{FC}$ 的值最小时，求出点 $F$ 的坐标及 $\mathit{FA}+\mathit{FC}$ 的最小值；

（3）连接 $\mathit{AC}$ ，若点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧一点，点 $Q$ 是直线 $\mathit{BC}$ 上一点，试探究是否存在以点 $E$ 为直角顶点的 $\text{Rt}\Delta \text{PEQ}$ ，且满足 $\tan \angle \mathit{EQP}=\tan \angle \mathit{OCA}$ ．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $(0,-2)$ ，当 $x<-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x>-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．设 $r$ 是抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m=\frac{r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1}{r^9+60r^5-1}$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）求证： $r^4-2r^2+1=60r^2$ ；

（3）以下结论： $m<1$ ， $m=1$ ， $m>1$ ，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $y=3x^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $A(0,-2)$ ， $B(2,0)$ ，点 $C$ 为第二象限抛物线上一点，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，其中 $\mathit{AC}$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，且 $\tan \angle \mathit{OBC}=2$ ．

（1）求点 $C$ 坐标；

（2）点 $P(m,0)$ 为线段 $\mathit{BE}$ 上一动点 $(P$ 不与 $B$ ， $E$ 重合），过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边分别交于 $M$ ， $N$ 两点，将 $\mathit{\Delta BMN}$ 沿直线 $\mathit{MN}$ 翻折得到△ $B\text{'}\mathit{MN}$ ，设四边形 $B\text{'}\mathit{NBM}$ 的面积为 $S$ ，在点 $P$ 移动过程中，求 $S$ 与 $m$ 的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若 $S=3S_{\mathit{\Delta ACB}\text{'}}$ ，请写出所有满足条件的 $m$ 值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 、 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b=$ 　　， $c=$ 　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{\mathit{\Delta ABD}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{\mathit{\Delta APC}}=S_{\mathit{\Delta APB}}$ ，写出点 $P$ 的坐标．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．