初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

已知抛物线与轴相交于和两点，并与轴相交于点．抛物线与关于坐标原点对称，点、在上的对应点分别为、

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在抛物线上是否存在点，使得△的面积等于△的面积？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

在同一直角坐标系中，抛物线与抛物线关于轴对称，与轴交于、两点，其中点在点的左侧．

（1）求抛物线，的函数表达式；

（2）求、两点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出、两点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线与轴交于、两点．与轴交于点．且，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）连接、，在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过点 $M(1,3)$ 和 $N(3,5)$

（1）试判断该抛物线与 $x$ 轴交点的情况；

（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 $A(-2,0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $B$ ，同时满足以 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．

如图所示，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，且 $\mathit{\Delta AOB}$ 是等腰直角三角形， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，点 $A(2,1)$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）求经过 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 三点的抛物线的函数表达式；

（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点 $P$ ，使四边形 $\mathit{ABOP}$ 的面积最大？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线．

（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线，直接写出的表达式；

（3）若（2）中抛物线的顶点到轴的距离为2，求的值．

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．

①当是直角三角形时，求点的坐标；

②作点关于点的对称点，则平面内存在直线，使点，，到该直线的距离都相等．当点在轴右侧的抛物线上，且与点不重合时，请直接写出直线的解析式．，可用含的式子表示）

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点的直线交直线于点．

①当时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作直线的平行线交直线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；

②连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．

如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，顶点的坐标为，对称轴交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交抛物线的对称轴于点．

（1）求出，，的值．

（2）点为抛物线对称轴上一个动点，若是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标．

（3）点为抛物线上一个动点，当点关于直线的对称点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标．

如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．

（1）求点的坐标和抛物线的解析式；

（2）为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，．

①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”．请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和点，与轴交于点．

（1）求，的值及抛物线的解析式；

（2）在图1中，把平移，始终保持点的对应点在抛物线上，点，的对应点分别为，，连接，若点恰好在直线上，求线段的长度；

（3）如图2，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，直线 $y=-\frac{4}{3}x+n$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $C(0,4)$ ，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B(0,-2)$ ．点 $P$ 为抛物线上一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $\mathit{PD}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{PD}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{PB}$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta BDP}$ 为等腰直角三角形时，求线段 $\mathit{PD}$ 的长；

（3）如图2，将 $\mathit{\Delta BDP}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，得到△ $\mathit{BD}\text{'}P\text{'}$ ，且旋转角 $\angle \mathit{PBP}\text{'}=\angle \mathit{OAC}$ ，当点 $P$ 的对应点 $P\text{'}$ 落在坐标轴上时，请直接写出点 $P$ 的坐标．

已知，是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是　　．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$ 经过 $A(-1,0)$ ， $C(3,0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 为直线 $\mathit{BC}$ 上方抛物线上一个动点，连接 $\mathit{PB}$ ， $\mathit{PC}$ ．设 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，试求 $S$ 关于 $m$ 的函数解析式，并求出 $S$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$ ，点 $M(2,1)$ 为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使直线 $\mathit{QM}$ 与 $y$ 轴相交所成的锐角等于 $\angle \mathit{OAB}$ ？若存在，请直接写出点 $Q$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，过点的抛物线与直线交于点．点是线段上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设的面积为，点的横坐标为．

（1）请直接写出的值及抛物线的解析式．

（2）为探究最大时点的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助的长与三角形面积公式，求出关于的函数关系式，可确定点的位置．

乙：当点运动到点或点时，的值可看作0，则当点运动到中点时，最大，即最大时，点为的中点．

请参考甲的方法求出最大时点的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线与任意抛物线相交于、两点，是线段上的一个动点，过点作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点．当的面积最大时，点一定是线段的中点吗？试作出判断并说明理由．