小聪设计奖杯,从抛物线形状上获得灵感,在平面直角坐标系中画出截面示意图,如图1,杯体 是抛物线的一部分,抛物线的顶点 在 轴上,杯口直径 ,且点 , 关于 轴对称,杯脚高 ,杯高 ,杯底 在 轴上.
(1)求杯体 所在抛物线的函数表达式(不必写出 的取值范围);
(2)为使奖杯更加美观,小敏提出了改进方案,如图2,杯体 所在抛物线形状不变,杯口直径 ,杯脚高 不变,杯深 与杯高 之比为0.6,求 的长.
如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽 与桥长 均为 ,在距离 点6米的 处,测得桥面到桥拱的距离 为 ,以桥拱顶点 为原点,桥面为 轴建立平面直角坐标系.
(1)求桥拱顶部 离水面的距离.
(2)如图2,桥面上方有3根高度均为 的支柱 , , ,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为 .
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.
②为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带,求彩带长度的最小值.
某游乐场的圆形喷水池中心 有一雕塑 ,从 点向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同.如图,以水平方向为 轴,点 为原点建立直角坐标系,点 在 轴上, 轴上的点 , 为水柱的落水点,水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 .
(1)求雕塑高 .
(2)求落水点 , 之间的距离.
(3)若需要在 上的点 处竖立雕塑 , , , .问:顶部 是否会碰到水柱?请通过计算说明.
今年以来,我市接待的游客人数逐月增加,据统计,游玩某景区的游客人数三月份为4万人,五月份为5.76万人.
(1)求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几;
(2)若该景区仅有 , 两个景点,售票处出示的三种购票方式如下表所示:
购票方式 |
甲 |
乙 |
丙 |
可游玩景点 |
|
|
和 |
门票价格 |
100元 人 |
80元 人 |
160元 人 |
据预测,六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万,并且当甲、乙两种门票价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票.
①若丙种门票价格下降10元,求景区六月份的门票总收入;
②问:将丙种门票价格下降多少元时,景区六月份的门票总收入有最大值?最大值是多少万元?
在平面直角坐标系中, 为原点, 是等腰直角三角形, , ,顶点 ,点 在第一象限,矩形 的顶点 , ,点 在 轴的正半轴上,点 在第二象限,射线 经过点 .
(Ⅰ)如图①,求点 的坐标;
(Ⅱ)将矩形 沿 轴向右平移,得到矩形 ,点 , , , 的对应点分别为 , , , .设 ,矩形 与 重叠部分的面积为 .
①如图②,当点 在 轴正半轴上,且矩形 与 重叠部分为四边形时, 与 相交于点 ,试用含有 的式子表示 ,并直接写出 的取值范围;
②当 时,求 的取值范围(直接写出结果即可).
某药店选购了一批消毒液,进价为每瓶10元,在销售过程中发现,每天销售量 (瓶 与每瓶售价 (元 之间存在一次函数关系(其中 ,且 为整数).当每瓶消毒液售价为12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶消毒液售价为15元时,每天销售量为75瓶.
(1)求 与 之间的函数关系式;
(2)设该药店销售该消毒液每天的销售利润为 元,当每瓶消毒液售价为多少元时,药店销售该消毒液每天销售利润最大,最大利润是多少元?
某服装店以每件30元的价格购进一批 恤,如果以每件40元出售,那么一个月内能售出300件,根据以往销售经验,销售单价每提高1元,销售量就会减少10件,设 恤的销售单价提高 元.
(1)服装店希望一个月内销售该种 恤能获得利润3360元,并且尽可能减少库存,问 恤的销售单价应提高多少元?
(2)当销售单价定为多少元时,该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大?最大利润是多少元?
渠县是全国优质黄花主产地,某加工厂加工黄花的成本为30元 千克,根据市场调查发现,批发价定为48元 千克时,每天可销售500千克,为增大市场占有率,在保证盈利的情况下,工厂采取降价措施,批发价每千克降低1元,每天销量可增加50千克.
(1)写出工厂每天的利润 元与降价 元之间的函数关系.当降价2元时,工厂每天的利润为多少元?
(2)当降价多少元时,工厂每天的利润最大,最大为多少元?
(3)若工厂每天的利润要达到9750元,并让利于民,则定价应为多少元?
公路上正在行驶的甲车,发现前方 处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程 (单位: 、速度 (单位: 与时间 (单位: 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,其图象如图所示.
(1)当甲车减速至 时,它行驶的路程是多少?
(2)若乙车以 的速度匀速行驶,两车何时相距最近,最近距离是多少?
某商场购进甲、乙两种商品共100箱,全部售完后,甲商品共盈利900元,乙商品共盈利400元,甲商品比乙商品每箱多盈利5元.
(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元?
(2)甲、乙两种商品全部售完后,该商场又购进一批甲商品,在原每箱盈利不变的前提下,平均每天可卖出100箱.如调整价格,每降价1元,平均每天可多卖出20箱,那么当降价多少元时,该商场利润最大?最大利润是多少?
某商家正在热销一种商品,其成本为30元 件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减少.商家决定当售价为60元 件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量 (件 与售价 (元 件)满足如图所示的函数关系(其中 ,且 为整数).
(1)写出 与 的函数关系式;
(2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最大利润是多少?
某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器,进价为每个40元,在销售过程中发现,这款蒸蛋器销售单价为60元时,每星期卖出100个.如果调整销售单价,每涨价1元,每星期少卖出2个,现网店决定提价销售,设销售单价为 元,每星期销售量为 个.
(1)请直接写出 (个 与 (元 之间的函数关系式;
(2)当销售单价是多少元时,该网店每星期的销售利润是2400元?
(3)当销售单价是多少元时,该网店每星期的销售利润最大?最大利润是多少元?
甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元. 乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元. |
说明:①汽车数量为整数;②月利润 月租车费 月维护费;③两公司月利润差 月利润较高公司的利润 月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是 48000 元;当每个公司租出的汽车为 辆时,两公司的月利润相等;
(2)求两公司月利润差的最大值;
(3)甲公司热心公益事业,每租出1辆汽车捐出 元 给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为17辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求 的取值范围.
已知四边形 是边长为1的正方形,点 是射线 上的动点,以 为直角边在直线 的上方作等腰直角三角形 , ,设 .
(1)如图,若点 在线段 上运动, 交 于点 , 交 于点 ,连结 ,
①当 时,求线段 的长;
②在 中,设边 上的高为 ,请用含 的代数式表示 ,并求 的最大值;
(2)设过 的中点且垂直于 的直线被等腰直角三角形 截得的线段长为 ,请直接写出 与 的关系式.
试题篮
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