初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图，已知点 $B$、 $E$、 $C$、 $F$在同一条直线上， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$， $\angle A=\angle D$， $\mathit{AC}//\mathit{DF}$．求证： $\mathit{BE}=\mathit{CF}$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$为对角线， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$、 $F$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{CE}$．

求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，点 $E$、 $F$分别从点 $A$、点 $D$以相同速度同时出发，点 $E$从点 $A$向点 $D$运动，点 $F$从点 $D$向点 $C$运动，点 $E$运动到 $D$点时， $E$、 $F$停止运动．连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AF}$相交于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$．有下列结论：① $\mathit{AF}\perp \mathit{BE}$；②点 $G$随着点 $E$、 $F$的运动而运动，且点 $G$的运动路径的长度为 $\pi$；③线段 $\mathit{DG}$的最小值为 $2\sqrt{5}-2$；④当线段 $\mathit{DG}$最小时， $\mathit{\Delta BCG}$的面积 $S=8+\frac{8}{5}\sqrt{5}$．其中正确的命题有　　．（填序号）

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足分别为 $E$， $F$， $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$分别与 $\mathit{BD}$交于点 $G$和 $H$，且 $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$．

（1）若 $\tan \angle \mathit{ABE}=2$，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DH}$．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中．点 $E$， $F$分别在 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{\Delta AEF}$是等边三角形．连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{EF}$于点 $G$．过点 $G$作 $\mathit{GH}\perp \mathit{CE}$于点 $H$，若 $S_{\mathit{\Delta EGH}}=3$，则 $S_{\mathit{\Delta ADF}}=($　　 $)$

A．6B．4C．3D．2

如图， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AB}$，垂足分别是点 $E$、 $F$， $\mathit{DE}=\mathit{CF}$， $\mathit{AE}=\mathit{BF}$，求证： $\mathit{AC}//\mathit{BD}$．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$和正方形 $\mathit{CEFG}$边长分别为 $a$和 $b$，正方形 $\mathit{CEFG}$绕点 $C$旋转，给出下列结论：① $\mathit{BE}=\mathit{DG}$；② $\mathit{BE}\perp \mathit{DG}$；③ $D{E}^2+B{G}^2=2a^2+2b^2$，其中正确结论是　　（填序号）

如图，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$延长线上一点，连接 $\mathit{DE}$，过顶点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{DE}$，垂足为 $F$， $\mathit{BF}$分别交 $\mathit{AC}$于 $H$，交 $\mathit{CD}$于 $G$．

（1）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DE}$；

（2）若点 $G$为 $\mathit{CD}$的中点，求 $\frac{\mathit{HG}}{\mathit{GF}}$的值．

如图， $\mathit{EF}$过 $▱\mathit{ABCD}$对角线的交点 $O$，交 $\mathit{AD}$于 $E$，交 $\mathit{BC}$于 $F$，若 $▱\mathit{ABCD}$的周长为18， $\mathit{OE}=1.5$，则四边形 $\mathit{EFCD}$的周长为 $($　　 $)$

A．14B．13C．12D．10

如图，点 $A$、 $F$、 $C$、 $D$在同一条直线上，已知 $\mathit{AF}=\mathit{DC}$， $\angle A=\angle D$， $\mathit{BC}//\mathit{EF}$，求证： $\mathit{AB}=\mathit{DE}$．

（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 $\mathit{ABC}$，其中 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，在 $\mathit{\Delta ABC}$的外侧分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$为腰作了两个等腰直角三角形 $\mathit{ABD}$， $\mathit{ACE}$，分别取 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$， $\mathit{BC}$的中点 $M$， $N$， $G$，连接 $\mathit{GM}$， $\mathit{GN}$．小明发现了：线段 $\mathit{GM}$与 $\mathit{GN}$的数量关系是　　；位置关系是　　．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 $\mathit{ABC}$换为一般的锐角三角形，其中 $\mathit{AB}>\mathit{AC}$，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向 $\mathit{\Delta ABC}$的内侧分别作等腰直角三角形 $\mathit{ABD}$， $\mathit{ACE}$，其它条件不变，试判断 $\mathit{\Delta GMN}$的形状，并给与证明．

【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$内一点， $\mathit{PA}=1$， $\mathit{PB}=2$， $\mathit{PC}=3$．你能求出 $\angle \mathit{APB}$的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将 $\mathit{\Delta BPC}$绕点 $B$逆时针旋转 $90°$，得到△ $\mathit{BP}\text{'}A$，连接 $\mathit{PP}\text{'}$，求出 $\angle \mathit{APB}$的度数；

思路二：将 $\mathit{\Delta APB}$绕点 $B$顺时针旋转 $90°$，得到△ $C{P}^{\text{'}}B$，连接 $\mathit{PP}\text{'}$，求出 $\angle \mathit{APB}$的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

【类比探究】

如图2，若点 $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$外一点， $\mathit{PA}=3$， $\mathit{PB}=1$， $\mathit{PC}=\sqrt{11}$，求 $\angle \mathit{APB}$的度数．

对角线长分别为6和8的菱形 $\mathit{ABCD}$如图所示，点 $O$为对角线的交点，过点 $O$折叠菱形，使 $B$， $B\text{'}$两点重合， $\mathit{MN}$是折痕．若 $B^{\text{'}}M=1$，则 $\mathit{CN}$的长为 $($　　 $)$

A．7B．6C．5D．4

如图，点 $M$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{CD}$上一点，连接 $\mathit{AM}$，作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AM}$于点 $E$， $\mathit{BF}\perp \mathit{AM}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$；

（2）已知 $\mathit{AF}=2$，四边形 $\mathit{ABED}$的面积为24，求 $\angle \mathit{EBF}$的正弦值．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $A$与原点重合，点 $B$在 $y$轴的正半轴上，点 $D$在 $x$轴的负半轴上，将正方形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$逆时针旋转 $30°$至正方形 $A{B}^{\text{'}}C\text{'}D\text{'}$的位置， $B^{\text{'}}C\text{'}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $M$，则点 $M$的坐标为　　．