初中数学等边三角形的判定与性质试题

已知： 在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$，垂足分别为点 $E$， $F$，且 $\mathit{DE}=\mathit{DF}$． 求证： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形 ．

问题背景

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$的内部，作 $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABF}=\angle \mathit{BCG}=\angle \mathit{CDH}$，根据三角形全等的条件，易得 $\mathit{\Delta DAE}\cong \mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BCG}\cong \mathit{\Delta CDH}$，从而得到四边形 $\mathit{EFGH}$是正方形．

类比探究

如图2，在正 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，作 $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{ACF}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CF}$两两相交于 $D$， $E$， $F$三点 $(D$， $E$， $F$三点不重合）

（1） $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta BCE}$， $\mathit{\Delta CAF}$是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（2） $\mathit{\Delta DEF}$是否为正三角形？请说明理由．

（3）进一步探究发现， $\mathit{\Delta ABD}$的三边存在一定的等量关系，设 $\mathit{BD}=a$， $\mathit{AD}=b$， $\mathit{AB}=c$，请探索 $a$， $b$， $c$满足的等量关系．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为点 $E$， $F$，延长 $\mathit{BD}$至 $G$，使得 $\mathit{DG}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{FG}$，若 $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，则 $\frac{\mathit{EG}}{\mathit{AB}}=$　　．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为点 $E$， $F$，延长 $\mathit{BD}$至 $G$，使得 $\mathit{DG}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{FG}$，若 $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，则 $\frac{\mathit{EG}}{\mathit{AB}}=$　　．

由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架 $\mathit{ABCDEF}$，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为 $\mathit{AB}=\mathit{DE}=1$米， $\mathit{BC}=\mathit{CD}=\mathit{EF}=\mathit{FA}=2$米．（铰接点长度忽略不计）

（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点 $A$， $E$之间的距离是　　米．

（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有 $\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=120°$，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是　　米．

如图，在边长为 $a$正方形 $\mathit{ABCD}$中，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{BM}$，连接 $\mathit{AM}$并延长交 $\mathit{CD}$于 $N$，连接 $\mathit{MC}$，则 $\mathit{\Delta MNC}$的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}{a}^2$B． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}{a}^2$C． $\frac{\sqrt{3}-1}{4}{a}^2$D． $\frac{\sqrt{2}-1}{4}{a}^2$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$， $D$， $E$， $F$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$的中点，若 $\mathit{BC}=2$，则 $\mathit{EF}$的长度为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B．1C． $\frac{3}{2}$D． $\sqrt{3}$

如图，点 $D$为 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{AB}$边上的中点，点 $E$为 $\mathit{AD}$的中点， $\mathit{\Delta ADC}$为正三角形，给出下列结论，① $\mathit{CB}=2\mathit{CE}$，② $\tan \angle B=\frac{3}{4}$，③ $\angle \mathit{ECD}=\angle \mathit{DCB}$，④若 $\mathit{AC}=2$，点 $P$是 $\mathit{AB}$上一动点，点 $P$到 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$边的距离分别为 $d_1$， $d_2$，则 $d_1^2+d_2^2$的最小值是3．其中正确的结论是　　（填写正确结论的序号）．

如图1，在平面直角坐标系， $O$为坐标原点，点 $A(-1,0)$，点 $B(0,\sqrt{3})$．

（1）求 $\angle \mathit{BAO}$的度数；

（2）如图1，将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转得△ $A\text{'}\mathit{OB}\text{'}$，当 $A\text{'}$恰好落在 $\mathit{AB}$边上时，设△ $\mathit{AB}\text{'}O$的面积为 $S_1$，△ $\mathit{BA}\text{'}O$的面积为 $S_2$， $S_1$与 $S_2$有何关系？为什么？

（3）若将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$顺时针旋转到如图2所示的位置， $S_1$与 $S_2$的关系发生变化了吗？证明你的判断．

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=30°$，点 $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的重心，连接 $\mathit{CO}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，连接 $\mathit{AF}$交 $\mathit{CE}$于点 $M$，则 $\frac{\mathit{MO}}{\mathit{MF}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $\frac{\sqrt{5}}{4}$C． $\frac{2}{3}$D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

如图， $P$为等边三角形 $\mathit{ABC}$内的一点，且 $P$到三个顶点 $A$， $B$， $C$的距离分别为3，4，5，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $($　　 $)$

A． $9+\frac{25\sqrt{3}}{4}$B． $9+\frac{25\sqrt{3}}{2}$C． $18+25\sqrt{3}$D． $18+\frac{25\sqrt{3}}{2}$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针旋转 $30°$得到线段 $\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，连接 $\mathit{PC}$，则三角形 $\mathit{PCE}$的面积为　　．

如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：

（1）作线段 $\mathit{AB}$，分别以 $A$， $B$为圆心，以 $\mathit{AB}$长为半径作弧，两弧的交点为 $C$；

（2）以 $C$为圆心，仍以 $\mathit{AB}$长为半径作弧交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$；

（3）连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BC}$．

下列说法不正确的是 $($　　 $)$

A． $\angle \mathit{CBD}=30°$B． $S_{\mathit{\Delta BDC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^2$

C．点 $C$是 $\mathit{\Delta ABD}$的外心D． ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}D=1$

如图，已知 $\angle \mathit{MON}=120°$，点 $A$， $B$分别在 $\mathit{OM}$， $\mathit{ON}$上，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=a$，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转得到 $\mathit{OM}\text{'}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <120°$且 $\alpha \ne 60°)$，作点 $A$关于直线 $\mathit{OM}\text{'}$的对称点 $C$，画直线 $\mathit{BC}$交 $\mathit{OM}\text{'}$于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$，有下列结论：

① $\mathit{AD}=\mathit{CD}$；

② $\angle \mathit{ACD}$的大小随着 $\alpha$的变化而变化；

③当 $\alpha =30°$时，四边形 $\mathit{OADC}$为菱形；

④ $\mathit{\Delta ACD}$面积的最大值为 $\sqrt{3}{a}^2$；

其中正确的是　     　．（把你认为正确结论的序号都填上）．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{BAC}=30°$， $E$为 $\mathit{AB}$边的中点，以 $\mathit{BE}$为边作等边 $\mathit{\Delta BDE}$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CDB}$；

（2）若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，在 $\mathit{AC}$边上找一点 $H$，使得 $\mathit{BH}+\mathit{EH}$最小，并求出这个最小值．