初中数学三角形中位线定理试题

如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，△与关于所在直线对称，点，分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接．当△为直角三角形时，的长为　　．

如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是　　，位置关系是　　；

（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=8$ ， $\mathit{AB}=10$ ， $\mathit{DE}$ 垂直平分 $\mathit{AC}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，则 $\mathit{DE}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

6

B．

5

C．

4

D．

3

如图， $\mathit{BD}$ 是矩形 $\mathit{ABCD}$ 的一条对角线，点 $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{DC}$ 的中点．若 $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BC}=6$ ，则 $\mathit{AE}+\mathit{EF}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9

性质探究

如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为　　；

（2）如图②，在四边形中，．

①求证：；

②在边，上分别取中点，，连接．若，，直接写出线段的长．

类比拓展

顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　（用含的式子表示）．

教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．

例2 如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：

证明：连结．

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．

结论应用：在中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点．

（1）如图②，若为正方形，且，则的长为　　．

（2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为　　．

如图①，在中，，过上一点作交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）当点为中点时，的形状为　　；

（3）延长图①中的到点，使，连接，，，得到图②，若，判断四边形的形状，并说明理由．

如图，，两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点，连接，，分别延长到点，，使，，测得，则，间的距离为　　．

下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线及直线外一点．

求作：直线，使得．

作法：如图，

①在直线上取一点，作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；

②在直线上取一点（不与点重合），作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；

③作直线．所以直线就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：　　，　　，

　　（填推理的依据）．

如图，在中，、分别为，的中点．若，则　　．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{AD}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{BM}$ ， $\mathit{MN}$ ， $\mathit{BN}$ ．

（1）求证： $\mathit{BM}=\mathit{MN}$ ；

（2） $\angle \mathit{BAD}=60°$ ， $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $\mathit{AC}=2$ ，求 $\mathit{BN}$ 的长．

在中，，，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接．

（1）如图1，当是线段的中点时，设，，求的长（用含，的式子表示）；

（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

如图，已知线段与相交于点，联结，为的中点，为的中点，联结．若∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．

（年江西省南昌市）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE=45°，c=时，a=       ，b=       ．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=       ，b=       ．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=，AB=3，求AF的长．