初中数学矩形的性质试题

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$，将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$旋转得到矩形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$，使点 $B$的对应点 $B^{\text{'}}$落在 $\mathit{AC}$上， $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，在 $B^{\text{'}}C\text{'}$上取点 $F$，使 $B^{\text{'}}F=\mathit{AB}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=C\text{'}E$．

（2）求 $\angle \mathit{FB}{B}^{\text{'}}$的度数．

（3）已知 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{BF}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $G$， $E$分别在边 $\mathit{BC}$， $\mathit{DC}$上，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{EG}$， $\mathit{AE}$，将 $\mathit{\Delta ABG}$和 $\mathit{\Delta ECG}$分别沿 $\mathit{AG}$， $\mathit{EG}$折叠，使点 $B$， $C$恰好落在 $\mathit{AE}$上的同一点，记为点 $F$．若 $\mathit{CE}=3$， $\mathit{CG}=4$，则 $\sin \angle \mathit{DAE}=$　　．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点 $A$， $B$的坐标分别为 $(3,5)$， $(6,1)$．若过原点的直线 $l$将这个图案分成面积相等的两部分，则直线 $l$的函数解析式为　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$交于点 $O$， $M$、 $N$分别为 $\mathit{BC}$、 $\mathit{OC}$的中点．若 $\mathit{MN}=4$，则 $\mathit{AC}$的长为　        　．

如图，平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A(-6,0)$， $C(0$， $2\sqrt{3})$．将矩形 $\mathit{OABC}$绕点 $O$顺时针方向旋转，使点 $A$恰好落在 $\mathit{OB}$上的点 $A_1$处，则点 $B$的对应点 $B_1$的坐标为　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AC}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{FN}$ ， $\mathit{EM}$ ．则下列结论：

① $\mathit{DN}=\mathit{BM}$ ；

② $\mathit{EM}//\mathit{FN}$ ；

③ $\mathit{AE}=\mathit{FC}$ ；

④当 $\mathit{AO}=\mathit{AD}$ 时，四边形 $\mathit{DEBF}$ 是菱形．

其中，正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是 $($　　 $)$

A．内角和为 $360°$B．对角线互相平分

C．对角线相等D．对角线互相垂直

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$，点 $E$在边 $\mathit{BC}$上，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿直线 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$恰好落在对角线 $\mathit{AC}$上的点 $F$处，若 $\angle \mathit{EAC}=\angle \mathit{ECA}$，则 $\mathit{AC}$的长是 $($　　 $)$

A． $3\sqrt{3}$B．4C．5D．6

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $O$为 $\mathit{BC}$边的中点，则必有： $A{B}^2+A{C}^2=2A{O}^2+2B{O}^2$成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 $\mathit{DEFG}$中，已知 $\mathit{DE}=4$， $\mathit{EF}=3$，点 $P$在以 $\mathit{DE}$为直径的半圆上运动，则 $P{F}^2+P{G}^2$的最小值为 $($　　 $)$

A． $\sqrt{10}$B． $\frac{19}{2}$C．34D．10

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=3$，矩形内部有一动点 $P$满足 $S_{\mathit{\Delta PAB}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{矩形ABCD}}$，则点 $P$到 $A$、 $B$两点的距离之和 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的最小值为　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=4$． $E$， $F$分别在 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，点 $A$与点 $C$关于 $\mathit{EF}$所在的直线对称， $P$是边 $\mathit{DC}$上的一动点．

（1）连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{CE}$，求证四边形 $\mathit{AFCE}$是菱形；

（2）当 $\mathit{\Delta PEF}$的周长最小时，求 $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{CP}}$的值；

（3）连接 $\mathit{BP}$交 $\mathit{EF}$于点 $M$，当 $\angle \mathit{EMP}=45°$时，求 $\mathit{CP}$的长．

已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5\mathit{cm}$，点 $P$为对角线 $\mathit{AC}$上的一点，且 $\mathit{AP}=2\sqrt{5}\mathit{cm}$．如图①，动点 $M$从点 $A$出发，在矩形边上沿着 $A\to B\to C$的方向匀速运动（不包含点 $C$）.设动点 $M$的运动时间为 $t\left(s\right)$， $\mathit{\Delta APM}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$， $S$与 $t$的函数关系如图②所示．

（1）直接写出动点 $M$的运动速度为　    　 $\mathit{cm}/s$， $\mathit{BC}$的长度为　 　 $\mathit{cm}$；

（2）如图③，动点 $M$重新从点 $A$出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点 $N$从点 $D$出发，在矩形边上沿着 $D\to C\to B$的方向匀速运动，设动点 $N$的运动速度为 $v(\mathit{cm}/s)$．已知两动点 $M$， $N$经过时间 $x\left(s\right)$在线段 $\mathit{BC}$上相遇（不包含点 $C$），动点 $M$， $N$相遇后立即同时停止运动，记此时 $\mathit{\Delta APM}$与 $\mathit{\Delta DPN}$的面积分别为 $S_1\left(c{m}^2\right)$， $S_2\left(c{m}^2\right)$

①求动点 $N$运动速度 $v(\mathit{cm}/s)$的取值范围；

②试探究 $S_1·S_2$是否存在最大值，若存在，求出 $S_1·S_2$的最大值并确定运动时间 $x$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}<\mathit{BC}$， $E$为 $\mathit{CD}$边的中点，将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $E$顺时针旋转 $180°$，点 $D$的对应点为 $C$，点 $A$的对应点为 $F$，过点 $E$作 $\mathit{ME}\perp \mathit{AF}$交 $\mathit{BC}$于点 $M$，连接 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BD}$交于点 $N$，现有下列结论：

① $\mathit{AM}=\mathit{AD}+\mathit{MC}$；

② $\mathit{AM}=\mathit{DE}+\mathit{BM}$；

③ $D{E}^2=\mathit{AD}·\mathit{CM}$；

④点 $N$为 $\mathit{\Delta ABM}$的外心．

其中正确的个数为 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

矩形 $\mathit{ABCD}$与 $\mathit{CEFG}$如图放置，点 $B$， $C$， $E$共线，点 $C$， $D$， $G$共线，连接 $\mathit{AF}$，取 $\mathit{AF}$的中点 $H$，连接 $\mathit{GH}$．若 $\mathit{BC}=\mathit{EF}=2$， $\mathit{CD}=\mathit{CE}=1$，则 $\mathit{GH}=($　　 $)$

A．1B． $\frac{2}{3}$C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$，过点 $O$作 $\mathit{BD}$的垂线分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$于 $E$， $F$两点．若 $\mathit{AC}=2\sqrt{3}$， $\angle \mathit{AEO}=120°$，则 $\mathit{FC}$的长度为 $($　　 $)$

A．1B．2C． $\sqrt{2}$D． $\sqrt{3}$