初中数学垂径定理试题

如图，在半径为3的 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 是直径， $\mathit{AC}$ 是弦， $D$ 是 $\widehat{\mathit{AC}}$ 的中点， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ．若 $E$ 是 $\mathit{BD}$ 的中点，则 $\mathit{AC}$ 的长是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{2}\sqrt{3}$

B．

$3\sqrt{3}$

C．

$3\sqrt{2}$

D．

$4\sqrt{2}$

如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在 $\odot O$ 上， $\mathit{OA}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $E$ ．若 $\angle \mathit{ADC}=30°$ ， $\mathit{AE}=1$ ，则 $\mathit{BC}=($ 　　 $)$

A．

2

B．

4

C．

$\sqrt{3}$

D．

$2\sqrt{3}$

如图， $\odot O$ 中， $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$ ， $\angle \mathit{APC}=28°$ ，则 $\angle \mathit{BOC}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$14°$

B．

$28°$

C．

$42°$

D．

$56°$

如图， $\odot O$ 的直径 $\mathit{CD}=20$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的弦， $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $M$ ， $\mathit{OM}:\mathit{OC}=3:5$ ，则 $\mathit{AB}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

8

B．

12

C．

16

D．

$2\sqrt{91}$

在半径为 $\sqrt{5}$的 $\odot O$中，弦 $\mathit{AB}$垂直于弦 $\mathit{CD}$，垂足为 $P$， $\mathit{AB}=\mathit{CD}=4$，则 $S_{\mathit{\Delta ACP}}=$　 　．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$在直径 $\mathit{AB}$上 $(D$与 $A$， $B$不重合）， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，且 $\mathit{CD}=\mathit{AB}$，连接 $\mathit{CB}$，与 $\odot O$交于点 $F$，在 $\mathit{CD}$上取一点 $E$，使 $\mathit{EF}=\mathit{EC}$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $D$是 $\mathit{OA}$的中点， $\mathit{AB}=4$，求 $\mathit{CF}$的长．

如图，已知 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的半径为5，所对的弦 $\mathit{AB}$ 长为8，点 $P$ 是 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，将 $\widehat{\mathit{AB}}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$ 后得到 $\widehat{\mathit{AB}\text{'}}$ ，则在该旋转过程中，点 $P$ 的运动路径长是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\sqrt{5}}{2}\pi$

B．

$\sqrt{5}\pi$

C．

$2\sqrt{5}\pi$

D．

$2\pi$

如图， $\mathit{AD}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BC}$ 是弦，四边形 $\mathit{OBCD}$ 是平行四边形， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{OB}$ 相交于点 $P$ ，下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{AP}=2\mathit{OP}$

B．

$\mathit{CD}=2\mathit{OP}$

C．

$\mathit{OB}\perp \mathit{AC}$

D．

$\mathit{AC}$ 平分 $\mathit{OB}$

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$为 $\odot O$上一点，点 $P$是半径 $\mathit{OB}$上一动点（不与 $O$， $B$重合），过点 $P$作射线 $l\perp \mathit{AB}$，分别交弦 $\mathit{BC}$， $\widehat{\mathit{BC}}$于 $D$， $E$两点，在射线 $l$上取点 $F$，使 $\mathit{FC}=\mathit{FD}$．

（1）求证： $\mathit{FC}$是 $\odot O$的切线；

（2）当点 $E$是 $\widehat{\mathit{BC}}$的中点时，

①若 $\angle \mathit{BAC}=60°$，判断以 $O$， $B$， $E$， $C$为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若 $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{4}$，且 $\mathit{AB}=20$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点，过 $B$点的切线交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$， $E$为弦 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{AD}=10$， $\mathit{BD}=6$，若点 $P$为直径 $\mathit{AB}$上的一个动点，连接 $\mathit{EP}$，当 $\mathit{\Delta AEP}$是直角三角形时， $\mathit{AP}$的长为　　．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{BC}$是弦， $\mathit{BC}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{CD}$交 $\odot O$于点 $E$， $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{DBE}$．

（1）求证： $\mathit{BD}$是 $\odot O$的切线．

（2）过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$于 $F$，交 $\mathit{BC}$于 $G$，已知 $\mathit{DE}=2\sqrt{10}$， $\mathit{EG}=3$，求 $\mathit{BG}$的长．

如图， $\mathit{PA}$ 、 $\mathit{PB}$ 为圆 $O$ 的切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ， $\mathit{PO}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $C$ ， $\mathit{PO}$ 的延长线交圆 $O$ 于点 $D$ ，下列结论不一定成立的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{PA}=\mathit{PB}$

B．

$\angle \mathit{BPD}=\angle \mathit{APD}$

C．

$\mathit{AB}\perp \mathit{PD}$

D．

$\mathit{AB}$ 平分 $\mathit{PD}$

《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积 $=\frac{1}{2}$（弦 $\times$矢 $+$矢 ${}^2)$．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径 $\mathit{OC}\perp$弦 $\mathit{AB}$时， $\mathit{OC}$平分 $\mathit{AB})$可以求解．现已知弦 $\mathit{AB}=8$米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为　　平方米．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle B=90°$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，点 $E$在 $\mathit{AC}$上，以 $\mathit{AE}$为直径的 $\odot O$经过点 $D$．

（1）求证：① $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

② $C{D}^2=\mathit{CE}·\mathit{CA}$；

（2）若点 $F$是劣弧 $\mathit{AD}$的中点，且 $\mathit{CE}=3$，试求阴影部分的面积．

如图， $\odot P$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-5,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $C$ ．若 $\angle \mathit{ACB}=60°$ ，则点 $C$ 的纵坐标为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{13}+\sqrt{3}$

B．

$2\sqrt{2}+\sqrt{3}$

C．

$4\sqrt{2}$

D．

$2\sqrt{2}+2$