初中数学切线的判定解答题

如图，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 经过 $\mathit{\Delta ABC}$ 的顶点 $C$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{OD}//\mathit{BC}$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CD}$ ，在 $\mathit{OD}$ 的延长线上取一点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，使 $\angle \mathit{DEC}=\angle \mathit{BDC}$ ．

（1）求证： $\mathit{EC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径是3， $\mathit{DG}·\mathit{DB}=9$ ，求 $\mathit{CE}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一点，以 $\mathit{BD}$ 为直径的 $\odot O$ 经过点 $A$ ，且 $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ABC}$ ．

（1）请判断直线 $\mathit{AC}$ 是否是 $\odot O$ 的切线，并说明理由；

（2）若 $\mathit{CD}=2$ ， $\mathit{CA}=4$ ，求弦 $\mathit{AB}$ 的长．

$\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$是 $\odot O$上一点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，直线 $\mathit{MN}$过点 $C$，满足 $\angle \mathit{BCM}=\angle \mathit{BAC}=\alpha$．

（1）如图①，求证：直线 $\mathit{MN}$是 $\odot O$的切线；

（2）如图②，点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{MN}$于点 $H$，直线 $\mathit{DH}$交 $\odot O$于点 $E$、 $F$，连接 $\mathit{AF}$并延长交直线 $\mathit{MN}$于点 $G$，连接 $\mathit{CE}$，且 $\mathit{CE}=\frac{5}{3}$，若 $\odot O$的半径为1， $\cos \alpha =\frac{3}{4}$，求 $\mathit{AG}·\mathit{ED}$的值．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $E$ ， $C$ 是 $\odot O$ 上两点，且 $\widehat{\mathit{EC}}=\widehat{\mathit{BC}}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{AC}$ ．过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ 交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）判定直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{CD}=\sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 的直线 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{BDE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）当 $\mathit{CF}=2$ ， $\mathit{BE}=3$ 时，求 $\mathit{AF}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，以斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线 $\mathit{CD}$ 为直径作 $\odot O$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $\mathit{AB}$ 的另一个交点为 $E$ ，过 $M$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的直径为5， $\sin B=\frac{3}{5}$ ，求 $\mathit{ED}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ， $O$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，经过点 $A$ 、 $D$ 的 $\odot O$ 分别交 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BE}=8$ ， $\sin B=\frac{5}{13}$ ，求 $\odot O$ 的半径；

（3）求证： $A{D}^2=\mathit{AB}·\mathit{AF}$ ．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{CD}$是直径， $\angle \mathit{CBG}=\angle \mathit{BAC}$， $\mathit{CD}$与 $\mathit{AB}$相交于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$，过点 $O$作 $\mathit{OH}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $H$，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{OA}$．

（1）求证：直线 $\mathit{BG}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{OD}}=\frac{5}{4}$，求 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AC}}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，点 $O$在 $\mathit{AB}$上，以点 $O$为圆心， $\mathit{OA}$为半径的圆恰好经过点 $D$，分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$于点 $E$、 $F$．

（1）试判断直线 $\mathit{BC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{BD}=2\sqrt{3}$， $\mathit{AB}=6$，求阴影部分的面积（结果保留 $\pi )$．

如图，点 $O$是线段 $\mathit{AH}$上一点， $\mathit{AH}=3$，以点 $O$为圆心， $\mathit{OA}$的长为半径作 $\odot O$，过点 $H$作 $\mathit{AH}$的垂线交 $\odot O$于 $C$， $N$两点，点 $B$在线段 $\mathit{CN}$的延长线上，连接 $\mathit{AB}$交 $\odot O$于点 $M$，以 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$为边作 $▱\mathit{ABCD}$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OH}=\frac{1}{3}\mathit{AH}$，求四边形 $\mathit{AHCD}$与 $\odot O$重叠部分的面积；

（3）若 $\mathit{NH}=\frac{1}{3}\mathit{AH}$， $\mathit{BN}=\frac{5}{4}$，连接 $\mathit{MN}$，求 $\mathit{OH}$和 $\mathit{MN}$的长．

如图，点 $E$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心， $\mathit{AE}$的延长线和 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆 $\odot O$相交于点 $D$，过 $D$作直线 $\mathit{DG}//\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{DG}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{DE}=6$， $\mathit{BC}=6\sqrt{3}$，求优弧 $\widehat{\mathit{BAC}}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$为 $\mathit{AB}$的中点，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$两点，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点 $G$．

（1）试判断 $\mathit{FG}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由．

（2）若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{CD}=2.5$，求 $\mathit{FG}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，点 $E$为 $\mathit{AC}$延长线上一点，且 $\angle \mathit{CDE}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=3\mathit{BD}$， $\mathit{CE}=2$，求 $\odot O$的半径．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$为 $\odot O$上一点，点 $P$是半径 $\mathit{OB}$上一动点（不与 $O$， $B$重合），过点 $P$作射线 $l\perp \mathit{AB}$，分别交弦 $\mathit{BC}$， $\widehat{\mathit{BC}}$于 $D$， $E$两点，在射线 $l$上取点 $F$，使 $\mathit{FC}=\mathit{FD}$．

（1）求证： $\mathit{FC}$是 $\odot O$的切线；

（2）当点 $E$是 $\widehat{\mathit{BC}}$的中点时，

①若 $\angle \mathit{BAC}=60°$，判断以 $O$， $B$， $E$， $C$为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若 $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{4}$，且 $\mathit{AB}=20$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $C$、 $E$是 $\odot O$上的两点， $\mathit{CE}=\mathit{CB}$， $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{CAE}$，延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{CE}=\mathit{CF}$；

（3）若 $\mathit{BD}=1$， $\mathit{CD}=\sqrt{2}$，求弦 $\mathit{AC}$的长．