初中数学弧长的计算试题

如图1和2，中，，，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．

（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出与的位置关系；

（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；

（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，曲线 $D{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{A}_2\dots$是由一段段90度的弧组成的．其中： $\stackrel{̂}{D{A}_1}$的圆心为点 $A$，半径为 $\mathit{AD}$； $\stackrel{̂}{A_1{B}_1}$的圆心为点 $B$，半径为 $B{A}_1$； $\stackrel{̂}{B_1{C}_1}$的圆心为点 $C$，半径为 $C{B}_1$； $\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$的圆心为点 $D$，半径为 $D{C}_1$； $\dots \stackrel{̂}{D{A}_1},\stackrel{̂}{A_1{B}_1},\stackrel{̂}{B_1{C}_1},\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$， $\dots$的圆心依次按点 $A$， $B$， $C$， $D$循环．若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，则 $\stackrel{̂}{A_{2020}{B}_{2020}}$的长是　　．

如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为 $a$，则勒洛三角形的周长为　　．

（材料阅读）

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的 $\odot O\mathrm{）}$．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 $\alpha$的大小是变化的．

（实际应用）

观测点 $A$在图1所示的 $\odot O$上，现在利用这个工具尺在点 $A$处测得 $\alpha$为 $31°$，在点 $A$所在子午线往北的另一个观测点 $B$，用同样的工具尺测得 $\alpha$为 $67°$． $\mathit{PQ}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PQ}\perp \mathit{ON}$．

（1）求 $\angle \mathit{POB}$的度数；

（2）已知 $\mathit{OP}=6400\mathit{km}$，求这两个观测点之间的距离即 $\odot O$上 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的长． $(\pi$取 $3.1)$

将 $\mathit{\Delta ABC}$以 $B$为旋转中心，顺时针旋转 $90°$．得到 $\mathit{\Delta DBE}$， $\mathit{AB}=4$，则点 $A$经过的路径长为　　．

如图，半圆 $O$ 的直径 $\mathit{AB}=4$ ，以长为2的弦 $\mathit{PQ}$ 为直径，向点 $O$ 方向作半圆 $M$ ，其中 $P$ 点在 $\stackrel{̂}{\mathit{AQ}}$ 上且不与 $A$ 点重合，但 $Q$ 点可与 $B$ 点重合．

发现： $\stackrel{̂}{\mathit{AP}}$ 的长与 $\stackrel{̂}{\mathit{QB}}$ 的长之和为定值 $l$ ，求 $l:$

思考：点 $M$ 与 $\mathit{AB}$ 的最大距离为 　　，此时点 $P$ ， $A$ 间的距离为 　　；

点 $M$ 与 $\mathit{AB}$ 的最小距离为 　　，此时半圆 $M$ 的弧与 $\mathit{AB}$ 所围成的封闭图形面积为 　　；

探究：当半圆 $M$ 与 $\mathit{AB}$ 相切时，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AP}}$ 的长．

（注：结果保留 $\pi$ ， $\cos 35°=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $\cos 55°=\frac{\sqrt{3}}{3})$

如图1， $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=4$厘米，点 $C$在 $\odot O$上，设 $\angle \mathit{ABC}$的度数为 $x$（单位：度， $0<x<90)$，优弧 $\stackrel{̂}{\mathit{ABC}}$的弧长与劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$的弧长的差设为 $y$（单位：厘米），图2表示 $y$与 $x$的函数关系，则 $\alpha =$　     　度．

如图， $\mathit{AB}$是以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$的切线， $D$为半圆上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是半圆 $O$的切线；

（2）连接 $\mathit{CD}$，求证： $\angle A=2\angle \mathit{CDE}$；

（3）若 $\angle \mathit{CDE}=27°$， $\mathit{OB}=2$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长．

（年云南省昆明市）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．

（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A₂BC₂；
（3）求出（2）中C点旋转到C₂点所经过的路径长（记过保留根号和π）．

（年贵州省黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．

（1）求证：PN与⊙O相切；
（2）如果∠MPC=30°，PE=，求劣弧的长．

抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 分别与 $\odot O$ 相切于点 $C$ ， $D$ ，延长 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $P$ ．若 $\angle P=120°$ ， $\odot O$ 的半径为 $6\mathit{cm}$ ，则图中 $\stackrel{̂}{\text{CD}}$ 的长为 　　 $\mathit{cm}$ ．（结果保留 $\pi )$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{AF}=\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$，垂足为点 $E$

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{AB}$；

（2）以 $A$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径作圆弧交 $\mathit{AF}$于点 $G$，若 $\mathit{BF}=\mathit{FC}=1$，求扇形 $\mathit{ABG}$的面积．（结果保留 $\pi )$

如图，边长为 $2\sqrt{3}\mathit{cm}$的正六边形螺帽，中心为点 $O$， $\mathit{OA}$垂直平分边 $\mathit{CD}$，垂足为 $B$， $\mathit{AB}=17\mathit{cm}$，用扳手拧动螺帽旋转 $90°$，则点 $A$在该过程中所经过的路径长为　　 $\mathit{cm}$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦，过点 $O$作 $\mathit{OC}\perp \mathit{OA}$， $\mathit{OC}$交 $\mathit{AB}$于 $P$， $\mathit{CP}=\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\angle \mathit{BAO}=25°$，点 $Q$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AmB}}$上的一点．

①求 $\angle \mathit{AQB}$的度数；

②若 $\mathit{OA}=18$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AmB}}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $C$在 $\odot O$上，若 $\angle \mathit{OCA}=50°$， $\mathit{AB}=4$，则 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{10}{3}\pi$B． $\frac{10}{9}\pi$C． $\frac{5}{9}\pi$D． $\frac{5}{18}\pi$